40代からの量子力学

文系おじさん、科学に挑戦!

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電磁場の量子化

wave-geometry.hatenablog.com


ここで立ててる,量子化されたベクトルポテンシャル

{\mathbf{A(r)}=\displaystyle\sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0 V\omega}}\sum_{\alpha=1}^{2}\sum_k \epsilon a_{k,\alpha}e^{ik\cdot r}+\epsilon^{*}a^{+}_{k,\alpha}e^{-ik\cdot r}}


ある論文からもってきたやつなんだけど,何が気に入らないかと言うとtがない.

もともと遷移確率のくだりは時間に依存する摂動論からはじまってる.
もちろん変数分離して,{x}{t}にわかれる場合もあるのだろうが,この後で


{\mathbf{E}=-\displaystyle\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}}


とかの計算の時に,時間偏微分しようにも相手がいないことになるじゃありませんか?
サクライ先生ガシオロ先生では,


{\mathbf{A}({\mathbf r},t)=\displaystyle\sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0 V\omega}}\sum_{\alpha=1}^{2}\sum_k {\mathbf A}_0\varepsilon_{\alpha} a_{k,\alpha}e^{ik\cdot r}+{\mathbf A}_0^{*}\varepsilon_{\alpha}a^{+}_{k,\alpha}e^{-ik\cdot r}}


こんな感じだ.ここで,

{{\mathbf A}_0=A_0 e^{-i\omega t}}

{{\mathbf A}^{*}_0=A_0^{*} e^{i\omega t}}


だから時間で偏微分してオメガがおりてきてもおかしいとは思わない.

あと,偏光ベクトルもいまいちつかみきれないな.
一つのフォトンを表現するのに,{{\mathbf \varepsilon}_{\alpha}\ \ \ (\alpha=1,2,)}
これはベクトルポテンシャルの式にも入れておいた.
問題は星がついている表現だ.これも把握しきれておらん.

...こちらについてはサクライ先生の教科書にも同様の表現があるため,ワタクシめの勉強不足に過ぎません
(;ω;)

多分座標がひっくり返ればいいみたいな感じだろうとは思うけれど.

今日も頑張ります.

一時帰国

眼病の検査のため一時帰国します.

いっそ日本には戻らぬくらい腹はくくっているのですが,ベストは尽くしておかないと申し訳ない(誰によ)

先生は帰国中はこの論文読むとイイよ,とか,相変わらず前向きな先生(^▽^)
まあ一週間くらいで台湾に戻りますが.

現状は,


ガシオロ+サクライ

小形先生

ネットでいろんなひとの資料

最初に戻る


の繰り返し.
いや,前進はしております.
(^▽^)
してるはずだ


じゃあ,おべんきょの続きに戻ります
(・ω・)ノシ

もっと式を丁寧にたてよう

(;ω;)
唐突に反省から始まりました.

なにかというと,ベクトルポテンシャル量子化したときに,添え字の説明が上手にできなかったんですね.

{\mathbf{A(r)}=\displaystyle\sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0 V\omega}}\sum_{\alpha=1}^{2}\sum_k \epsilon a_{k,\alpha}e^{ik\cdot r}+\epsilon^{*}a^{+}_{k,\alpha}e^{-ik\cdot r}}

・・・ダメだ.
やけくそでそれっぽい式を書いてみたけど,なっちゃいねぇ.


まず,偏光ベクトルがわかってねぇ.
これはボソンのスピンみたいなもんなのか?
なんで共役になるのだ.いらんのんちゃうか?


{\mathbf{A(r)}=\displaystyle\sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0 V\omega}}\sum_{\alpha=1}^{2}\sum_k \varepsilon^{\alpha} a_{k,\alpha}e^{ik\cdot r}+\varepsilon^{\alpha}a^{+}_{k,\alpha}e^{-ik\cdot r}}


んで,この式自体はフォトンだよね?
分母のあの{\omega}はなんだ.
そのエネルギーなのか?

ガシオロ先生の導出は,最初にN個のフォトンのエネルギーみたいなかんじで仮定してて,{N\hbar\omega}ってちゃんと断り書きがしてあるうえで,後から一個の時は{\hbar\omega}ですよ,みたいな.
んで,あとあとNはkに化ける.

k(モード)の数がフォトンの数だからだ….


だめだ,説明も上手にできない.
まずは教科書写経して,そのやり方を手本にするしかないなぁ...

product of momentum with Vector Potential under Coulomb gauge

Memo


f:id:morio_roji1111:20180804233557p:plain


これは交換関係とかの時と同じ,後ろに{\psi}とかつけて考えれば関数の積の微分で2項になる.


クーロンゲージは{\nabla\cdot\mathbf{A}=0}なので,2行目第1項が消えて,


{\mathbf{p}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{p}}


が成立.

微細構造定数〜fine structure constant〜

wave-geometry.hatenablog.com


なぜかこの記事がよく読まれていて,謎です.

タイトルの微細構造定数.


{\alpha\equiv\displaystyle\frac{e^2}{4\pi\epsilon_{0}\hbar c}\simeq\frac{1}{137.036}}


時はスペクトルのとびとび輝線研究の時代.

ボーアレベルを基準に考えて,そこからどれだけずれたり分裂したり...を考えたんですかね?

で,ひとつ目はこの微細構造ですじゃ.


{\alpha < 1}


なので,これの何倍ごとにさらに細かくなっていくヒエラルキーを考えたんですな.
これはちなみにGriffiths先生の教科書による.

で,


{\alpha^2 mc^2}:ボーアレベル
{\alpha^4 mc^2}:微細構造
{\alpha^5 mc^2}:ラムシフト
{(m/m_p)\alpha^4 mc^2}:超微細構造


となるようですじゃ.

いい歳して睡眠不順

なのは,恥ずかしいことですなァ.
(+ω+)

それはさておき,眼病があり,長い間白地に黒文字の編集画面を見ているのは苦痛なのであります.

研究の作業はVScodeでやってるんで,黒字に各種色文字で,しんどくないんですが...