シュレーディンガー方程式を解く6〜ラプラシアン4〜
ついつい寝ダメしちゃった日曜日,みなさまいかがお過ごしでしょうか.
(・∀・)
うち,テレビないんで,YouTubeで日本のドキュメンタリィ見るとか,あまり有意義でなく過ごせて非常に満足です(;ω;)
さて.シュレーディンガー方程式の演算子部分を球座標に変換するために四苦八苦しましただな.
これ,39歳で初めて量子論習ってから4年来,ずっとやりたかったんですだ.
もうちょっとなんでがんばりますんだ.
(^▽^)
さて.
演算子の中身はそれぞれ,
こうなりましただ.
これらは,
と,あたかもベクトルの内積のように計算されますじゃ.
まあ実際に同じ性質なんでしょうよ.
そして項の一番右端の演算子にあわせてまとめていきますんじゃ.
例えば,各第1項は,
これは,が存分に使えまして,三角関数が残らず1になって
となりますだ.
...この調子で残らずまとめていくと,かなり気持ちよく各項消えていき,残ったのは以下ですじゃ.
(;ω;)感涙….
自力でがんばれたのはここまでで,このあとにもう一段階,見やすくした式の形があるようですだな.
これにより,シュレーディンガー方程式は,ポテンシャルをとすると,
だったのが,
と,このように,球座標での表現に変換できたわけですじゃ!
(;ω;)大感涙.
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
お礼コーナー.
今回までのパートは,
・筑波大武内修先生のWebSite
・EMANさま
・obeliskさまのWebSite「三次元極座標におけるラプラシアン」のコーナー
を勉強し,たどり着くことができました.
世間の教科書の大半では「数学等の教科書にゆずる」との記載で結果のみが示されており,そのまま過ごしてしまって,こんにちに至りましただ.
このように,少なくとも自分はWebで公開されている教材や資料にたのむところは大であります.
(ー人ー)感謝.
シュレーディンガー方程式を解く5〜ラプラシアン3〜
さあ,今度はですだ.
うぇううぇえう(;ω;)
苦しい….
今日はもう限界ですじゃ.
おやすみなさいませ.
シュレーディンガー方程式を解く3〜ラプラシアン〜
前回がんばってナブラの中身まで出しましただ.
よかよか(^▽^)
で,こんどはラプラシアン,すなわち
を求めるのですな.
交換関係の計算で勉強したように.演算子どうしの計算には,後ろに関数が有ると考えて計算するのが正しいのですな.
どういうことかというと,
のようなときには,
この最後の肩のみたいな,関数に作用した状態=ひとつの関数と見るんですな.
んで,
この赤と青の関数の積にかかった微分と見るんですわ.
関数の積の微分ですから,を使って,
となるわけですじゃ.これ,全部ゼロで消えそうだな….
さて(・∀・).
まずは一番簡単なからいくのが常套手段のようですじゃ.
いきますだ.
たとえば最終行第1項の.
はただの数なので,演算子の前に集めちゃうんですな.
こうなるわけか...(・〜・)この調子でいきますじゃ.
最後の項なんかも,
緑のは作用の対象じゃないんで前にでて,赤と青が積の微分の対象になったんですなァ.
結局,
赤青の項はめいめいまとまり,
(^▽^;)ふぅ...
一番項の少ないでも,結構大変(汗
ほかのやつもやらねばな...(;▽;)