40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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電磁波について③

マクスウェルの式を思い出してみる。

{\nabla\cdot{\bf E}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}}

{\nabla\cdot{\bf B}=0}

{\nabla\times{\bf E}=-\displaystyle\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}}

{\nabla\times{\bf B}=\mu_{0}\left({\bf j}+\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}\right)}

 ここで、任意のポテンシャル、ベクトルポテンシャル{{\bf A}}と、スカラーポテンシャル{\phi}を導入する。

 磁気単極子のないことを示す磁場の勾配の式が表すように、発散のない場は回転していることを意味する。回転がゼロの場は、スカラーポテンシャルの発散で表現する。
 よって、まず、磁場は、

{{\bf B}=\nabla\times{\bf A}}

 と表すことができ、この式を電場の回転を表す、ファラデーの電磁誘導の式に代入すると、

{\nabla\times\left({\bf E}+\displaystyle\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\right)=0}

 となり、

{{\bf E}+\displaystyle\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}=-\nabla\phi}

 となる。
 空間微分と時間微分の順番は、交換可能、とのこと。

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