電磁波について③ - 広島文理科大学波動幾何学研究所

マクスウェルの式を思い出してみる。

${\nabla\cdot{\bf E}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}}$

${\nabla\cdot{\bf B}=0}$

${\nabla\times{\bf E}=-\displaystyle\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}}$

${\nabla\times{\bf B}=\mu_{0}\left({\bf j}+\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}\right)}$

　ここで、任意のポテンシャル、ベクトルポテンシャル ${{\bf A}}$ と、スカラーポテンシャル ${\phi}$ を導入する。

　磁気単極子のないことを示す磁場の勾配の式が表すように、発散のない場は回転していることを意味する。回転がゼロの場は、スカラーポテンシャルの発散で表現する。
　よって、まず、磁場は、

${{\bf B}=\nabla\times{\bf A}}$

　と表すことができ、この式を電場の回転を表す、ファラデーの電磁誘導の式に代入すると、

${\nabla\times\left({\bf E}+\displaystyle\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}\right)=0}$

　となり、

${{\bf E}+\displaystyle\frac{\partial {\bf A}}{\partial t}=-\nabla\phi}$

　となる。
　空間微分と時間微分の順番は、交換可能、とのこと。

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