40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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パラメータの(x, t)①~時間依存シュレーディンガー方程式

 タイトルはTexタグが使えないようで、残念。
 簡単なところをうろうろして申し訳ないが、表題の件、パラメータのx, tについて。
 これはもちろんxは空間、tは時間のことで、波動関数の記述が下記のようになる。

{\psi(x,t)=A\exp{\left[\displaystyle\frac{i}{\hbar}(px-Et)\right]}}

 この波動関数{\psi}をそれぞれ空間、時間について微分すると、

{\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}=-i\frac{E}{\hbar}\psi\cdots(1)}

{\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x}=-i\frac{p}{\hbar}\psi\cdots(2)}

が出て来る。

これと古典的なハミルトニアンとのアナロジーから、

{H=\displaystyle\frac{p^{2}}{2m}+V}

{p^{2}}の所に、乗数を微分の階数に置き換えた演算子を代入する。

{p\rightarrow\displaystyle\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}}

{\ \rightarrow -i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}}

自由粒子なので{V=0}として考え、

{\hat{H}=\displaystyle\frac{1}{2m}\left(i^{2}\hbar^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right)}

{\ \ =-\displaystyle\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}}

かくしてシュレーディンガー方程式に至る。
 さらに式(1)より、

{i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\psi=\hat{H}\psi}

 この形は時間に依存するシュレーディンガー方程式と呼ばれる。
 要するに、時間とともに波動関数が変化するということだろう。
 これに対して定在波だけの波動関数には、パラメータのtは無い。
 時間がどう変化しようが、形が変わらないからだ。

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