広島文理科大学波動幾何学研究所

自然哲論お勉強会

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ちょっと休憩：球の面積・体積

ちょっと休憩。

表題の件、球の幾何学はフェルミ球やら、なにかとちらほら顔を出すので、気になってたんですよね。

中学で習う？
そうだっけ？

${S=4\pi r^{2}}$

${V=\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^{3}}$

${S}$ はSurfaceのS、 ${V}$ はVolumeのVってことかしら。

これを暗記すればいいのね・・・。
いや、頑張って導出するけどね。

むむ？　ぱっと見、体積の式のほうを ${r}$ について微分すると、表面積の式になりそうなのよね…まあ、置いときますけど。

【球の表面積】
こっちから行きます。

球に外接する円柱の横壁（側面積って言うんですか？）と、球の表面積は等しいらしいですぜ！

びっくりだな。

んじゃ、まず球と円柱を用意しますね。

f:id:morio_roji1111:20180430141733p:plain

${R}$ は球の半径っすね…。

横着して省いてるけど、円柱の高さは自然と ${2R}$ になるのね。

んで、側面積と表面積・・・

f:id:morio_roji1111:20180430142256p:plain

わかりにくっ。
並列させましょうね。

f:id:morio_roji1111:20180430142642p:plain

このスライスの厚さは、円柱も球も同じなのか？　同じなのか。
だけど表面積を考察するから、表面積の高さ成分としては、球のほうは傾斜が入った ${\Delta t}$ とおく。

円柱の側面積は、円周の点（むしろ線か） ${2\pi R}$ が、そのまま ${\times}$ 高さ ${\Delta h}$ で良いので、

${A_{side\cdot cylinder}=2\pi R \Delta h}$

か。

問題は球の表面積よね。

f:id:morio_roji1111:20180430144613p:plain

知りたい表面積スライスの半径は ${R \sin{\theta}}$ なのね。

ぶかっこうになったけど、赤で示したよ。

これで高さが ${\Delta t}$ ならば、求める側面積は

${A_{side\cdot sphere}=2\pi R \sin{\theta} \Delta t}$

でよろしいかしら？

それでは、この二つを並べてみます。

${A_{side\cdot cylinder}=2\pi R \Delta h}$
${A_{side\cdot sphere}=2\pi R \sin{\theta} \Delta t}$

…。
差異は ${\sin{\theta} \Delta t}$ と ${\Delta h}$ か。

f:id:morio_roji1111:20180430150733p:plain

分けといてヨカッタ。

図中に示した角度はみんな同じ、 ${\theta}$ です。

例によって知りたいのは赤線部分。

スライスの厚さは同じなんだから、

${\sin{\theta} \Delta t = \Delta h}$

おお！！
球の表面積と、その外接する円柱の側面積は等しいんだ！

f:id:morio_roji1111:20180430151510p:plain

今度は横着しないで ${2R}$ 書きこんどきましたぜ。
円柱の側面積は、 ${2\pi R\times 2R}$ で、

${S_{sphere}=4\pi R^{2}}$

か！

（；ω；）感涙

今回はこちらを勉強したよ。
jsciencer.com

でも、内接と外接を間違っとらんか？

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