広島文理科大学波動幾何学研究所

自然哲論お勉強会

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ボーア模型④～ボーア半径の導出～

なんとかボーア半径の導出を目指すんだ！

f:id:morio_roji1111:20180501091117p:plain

日本語版wikiを参考に作った図だが、量子跳躍を表現する位置が実はバカにならんのんね…。
さておき、基底（最安定の軌道）に向かって電子が移るときに、フォトンを放出、エネルギー ${h\nu}$ を失う（オレンジの波線矢印っす）。

${E_{2}-E_{1}=h\nu}$

を表す図ですな。
${\nu}$ はフォトンの振動数とあるので、

${\lambda=c/\nu,\ \nu=c/\lambda}$

だから、赤だったら ${732\ \rm{nm}}$ とかで、

${\nu=\displaystyle\frac{2.99792458\times 10^{8}}{732\times 10^{-9}}}$
${=0.00409552538\times10^{17}}$
${=409.552538\times10^{12}}$

マァ ${409\ \rm{THz}}$ 、wikiに赤の周波数は ${405～480\ \rm{THz}}$ ってあるからこれでいーだろー。

さて、ここでボーアモデルのご本体をリコール。

${\displaystyle\frac{1}{2}mv^{2}-m\frac{v^{2}}{r}}$

$m\frac{v^{2}}{r}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\epsilon_{0} r^{2}}$

でしたな。
水素を考えているので、 ${Z=1}$ で行きましょうね。

まず ${r}$ が一個消えて、

${mv^{2}=\displaystyle\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}}$

とりあえず ${v^{2}}$ の式にして、

${v^{2}=\displaystyle\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}mr}}$

ここで、ボーアの条件、 ${m_{e}vr=n\hbar}$ をリコール。
水素だから ${n=1}$ として、これを ${v}$ についての式に変形、

${v=\displaystyle\frac{n\hbar}{mr}}$

代入。

${\displaystyle\frac{\hbar^{2}}{m^{2}r^{2}}=\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}mr}}$

両辺に ${r}$ をかけて一個消したうえで、ひっくり返しますと、

${\displaystyle\frac{m^{2}r}{\hbar^{2}}=\frac{4\pi\epsilon_{0}m}{e^{2}}}$

${r}$ の式に直しますと、

${r=4\pi\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\hbar^{2}}{me^{2}}}$

よ、よし、半径 ${r}$ の式にできた！
これに各物理当量をいれていきましょうぞ！

数字は猫ちゃんの表紙裏表紙の、Griffith先生の教科書からだ。

${\epsilon_{0}=8.85419\times10^{-12}\ \rm{C^{2}/Jm}}$
${\hbar=1.05457\times10^{-34}\ \rm{Js}}$
${m_{e}=9.10939\times10^{-31}\ \rm{kg}}$

あ・・・電気素量だけ載ってないわ・・・。

${e=1.60217662\times10^{-19}\ \rm{C}}$

よし。いきまっせ。

${r=\displaystyle\frac{4 \cdot 3.14159265359 \cdot 8.85419 \times 10^{-12}\cdot(1.05457\times 10^{-34})^{2}}{9.10939 \times 10^{-31}\cdot (1.60217662 \times 10^{-19})^{2}}}$

${=52.9175160821573\times 10^{-12}\ \rm{m}}$

ええっと、 ${52.9 \rm{pm}}$ 位なのですね。

これが基底状態の水素原子の半径の計算値というわけよな。
ちなみに実験値との比較が、英語版wikiのatomic radius、原子半径の項目ででてまっせ。

後でじっくり読んでみよっと。
Atomic radius - Wikipedia

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