40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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ボーア模型④~ボーア半径の導出~

なんとかボーア半径の導出を目指すんだ!

f:id:morio_roji1111:20180501091117p:plain

日本語版wikiを参考に作った図だが、量子跳躍を表現する位置が実はバカにならんのんね…。
さておき、基底(最安定の軌道)に向かって電子が移るときに、フォトンを放出、エネルギー{h\nu}を失う(オレンジの波線矢印っす)。

{E_{2}-E_{1}=h\nu}

を表す図ですな。
{\nu}フォトンの振動数とあるので、

{\lambda=c/\nu,\ \nu=c/\lambda}

だから、赤だったら{732\ \rm{nm}}とかで、


{\nu=\displaystyle\frac{2.99792458\times 10^{8}}{732\times 10^{-9}}}
{=0.00409552538\times10^{17}}
{=409.552538\times10^{12}}


マァ{409\ \rm{THz}}wikiに赤の周波数は{405~480\ \rm{THz}}ってあるからこれでいーだろー。

さて、ここでボーアモデルのご本体をリコール。

{\displaystyle\frac{1}{2}mv^{2}-m\frac{v^{2}}{r}}

{\displaystyle m\frac{v^{2}}{r}=\frac{Ze^{2}}{4\pi\epsilon_{0} r^{2}}}

でしたな。
水素を考えているので、{Z=1}で行きましょうね。

まず{r}が一個消えて、

{mv^{2}=\displaystyle\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}}

とりあえず{v^{2}}の式にして、

{v^{2}=\displaystyle\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}mr}}

ここで、ボーアの条件、{m_{e}vr=n\hbar}をリコール。
水素だから{n=1}として、これを{v}についての式に変形、

{v=\displaystyle\frac{n\hbar}{mr}}

代入。

{\displaystyle\frac{\hbar^{2}}{m^{2}r^{2}}=\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}mr}}

両辺に{r}をかけて一個消したうえで、ひっくり返しますと、

{\displaystyle\frac{m^{2}r}{\hbar^{2}}=\frac{4\pi\epsilon_{0}m}{e^{2}}}

{r}の式に直しますと、

{r=4\pi\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\hbar^{2}}{me^{2}}}

よ、よし、半径{r}の式にできた!
これに各物理当量をいれていきましょうぞ!

数字は猫ちゃんの表紙裏表紙の、Griffith先生の教科書からだ。

{\epsilon_{0}=8.85419\times10^{-12}\ \rm{C^{2}/Jm}}
{\hbar=1.05457\times10^{-34}\ \rm{Js}}
{m_{e}=9.10939\times10^{-31}\ \rm{kg}}

あ・・・電気素量だけ載ってないわ・・・。

{e=1.60217662\times10^{-19}\ \rm{C}}

よし。いきまっせ。

{r=\displaystyle\frac{4 \cdot 3.14159265359 \cdot 8.85419 \times 10^{-12}\cdot(1.05457\times 10^{-34})^{2}}{9.10939 \times 10^{-31}\cdot (1.60217662
\times 10^{-19})^{2}}}

{=52.9175160821573\times 10^{-12}\ \rm{m}}

ええっと、{52.9 \rm{pm}}位なのですね。

これが基底状態の水素原子の半径の計算値というわけよな。
ちなみに実験値との比較が、英語版wikiのatomic radius、原子半径の項目ででてまっせ。

後でじっくり読んでみよっと。
Atomic radius - Wikipedia

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