広島文理科大学波動幾何学研究所

自然哲論お勉強会

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黒体放射②～Modeってなんじゃらほい～

さて。
バイブレーションのある系のお話で出てくる言葉、モード。

www.etymonline.com

オンライン語源辞典さま曰く、

14世紀ラテン語、「kind of musical scales」

！！！
なんと、「音階」とな！

あれですよ、おじさんが知ってるオシャレな「モード」は15世紀フランス語、「いまどき流行のファッション」のほうでしたね！

英語版wikiのmusical scales and modesの項。
List of musical scales and modes - Wikipedia

hmm...
なるほど、ギターの弦みたいに、端っこどうしは揃えた中での振動の種類、これがモードなのか。

「ギター」「振動力学」でgoogleすると、いろいろ研究しているかたがおられて面白いですね。
ギターのボディで直接クラドニ図形とか、好きですよ。

ときに、ギターはネックに沿って１次元だけど、黒体放射は３次元の炉なのですわ。
これから追及するのは、限られた空間の中での振動について。

とはいえ、まずは簡単のために１次元の系で。

f:id:morio_roji1111:20180503132500p:plain

この発振器記号のような考える点から、電磁波が伝播していきますのな。
んで、進行方向に向かって時計回りの位相だとしましょうよ。

${\psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{i(-kx-\omega t)}}$

もしこれが

${\psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}+Be^{-i(kx-\omega t)}}$

だったら、

f:id:morio_roji1111:20180503132939p:plain

スパイラルも反対方向になっちゃう。

そしてここは境界 ${L}$ のある空間で、ギターのようにはしっこは止めてあるわけだぁね。
よって、そこでは波はないわけなので、

${\psi(0,t)=0}$
${\psi(L,t)=0}$

です。
まず ${x=0}$ のとき、

${\psi(0,t)=Ae^{-i\omega t}+Be^{-i\omega t}}=0$

となるためには、

${B=-A}$

が条件であることがわかります。
そして ${x=L}$ の場合にこの条件を適用、

${\psi(L,t)=Ae^{i(kL-\omega t)}-Ae^{i(-kL-\omega t)}=0}$

${e^{i\theta}=\sin{\theta}+i\cos{\theta }}$ で考えると、

${Ae^{i(kL-\omega t)}=A(\sin{(kL)}-i\cos{\omega t})}$
${-Ae^{i(-kL-\omega t)}=-A(\sin{(kL)}-i\cos{\omega t})}$

・・・。
もうここまでくると、 ${\sin{\theta}}$ の項に消えてもらうしかないけん・・・！

で、得られたのが

${A\sin{(kL)}=0}$

ですだ。
${\sin{\theta}}$ がゼロになってくれるのは、地平線にお日様が沈むときだけですだよ。

よって、

${kL=n\pi\ \ \ (n=1,2,\dots)}$

が得られるわけだ。
最後に、 ${k=2\pi/\lambda}$ をリコール、上の式を ${k}$ についての式に変えて、

${k=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{n\pi}{L}}$

この固定境界条件の空間で許される波長 ${\lambda}$ は、

${\displaystyle\frac{\lambda}{2\pi}=\frac{L}{n\pi}}$

${\lambda=\displaystyle\frac{2L}{n}\ \ \ (n=1,2,\dots)}$

ここで ${n}$ は、モード数でござる。

ちょっと休憩、次こそレイリー・ジーンズの放射式よ！
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☆さいてーしょん！☆
スパイラルアローな図は、藤田CT研究会さまの「Power Point 上での螺旋図形の描き方」で勉強させていただきました。

振動モードでなんでこんなにつまづいてんだ？
と、けげんにおもわれたアナタ。

・・・そう、ワタクシめが、 ${2L}$ の ${2}$ はどこからくるんじゃらほい、
と文系魂を炸裂させたからであります。

そんなワタクシを救ってくださった、
ネットに転がってた筑波大学服部利明先生の
「レーザー光学　講義テキスト　2013 年度版」
に感謝いたしますだよ。
これマジで感涙（；ω；）

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