広島文理科大学波動幾何学研究所

自然哲論お勉強会

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黒体放射③～レイリー＝ジーンズの放射式～

前回、黒体放射（空洞放射とも呼ぶ。炉の中の空洞だから）のモードについて勉強しました。

${2L}$ の ${2}$ はなんじゃらほい、で引っかかってたけど、
定在波なんだから、壁に向かっていく波と壁で反射して返ってくる波で距離 ${\times 2}$ なんだよ、というもんだいちゅ。

炉の中の電磁波に関する情報をまとめます。

振動モード ${\mathcal{M}}$ と波長 ${\lambda}$ の関係は、

${\lambda=\displaystyle\frac{2L}{\mathcal{M}}\ \ \ \mathcal{M}=1,2,\dots}$

波数ベクトル ${k}$ は、

${k=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\pi\mathcal{M}}{L}}$

３次元に拡張、

${\mathbf{k}=\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}=\displaystyle\frac{\pi\mathcal{M}}{L}}$

これぞ波数ベクトルってやつですな。
式を見るからに、球の公式にそっくり。
っていうか、球なんですね。

ここで、波数 ${k}$ を ${x,y,z}$ 軸にとった仮想空間、「波数空間（ ${k}$ 空間でもよくね？）」という考え方を導入するよ。
わたしたちが普段生活している空間（「実空間」というよ）ではない、特殊な空間なので、すんなり「あ、そうなってるんだ」とならなくって、今まさに苦労中（；ω；

さておき、モードはマイナスにはならないので、半径 ${\mathcal{M}}$ の球の、全軸正の範囲内だけ考えれば良いのです。
よって考える系は

${\mathcal{M}_{x}>0,\ \mathcal{M}_{y}>0,\ \mathcal{M}_{z}>0}$

f:id:morio_roji1111:20180503191337p:plain

図、いつも「間違ってるって言われたらどうしよう」って緊張しながら貼ってます。
いいかげんにならないように、一生懸命頑張って考えはするんだどもな。

今回考える空間は、この球の ${\frac{1}{8}}$ の部分だよ。

さて。
放射強度を得るために、考える系の振動モードの総数 ${N}$ を計算しましょう。

光は進行方向に対して垂直に振動する横波、かつ偏光による２自由度を持つので、

${N=2_{偏光の自由度}\times\left(\displaystyle\frac{1}{8}\times\frac{4}{3}\pi \mathcal{M}^{3}\right)_{球の座標が正の部分}}$

ここで、波数もしくはモード数と振動数の関係を確認。

${\nu=\displaystyle\frac{c}{\lambda}=\frac{ck}{2\pi}=\frac{c\mathcal{M}}{2L}}$

よって、モードを振動数 ${\nu}$ で表すと、

${\mathcal{M}(\nu)=\displaystyle\frac{2L}{c}\nu}$

だなや。
これを ${N}$ の式に代入すると、

${N=2\times\left\{\displaystyle\frac{1}{8}\times\frac{4}{3}\pi \left(\frac{2L}{c}\nu\right)^{3}\right\}}$

${=\displaystyle\frac{\pi}{3}\frac{8L^{3}\nu^{3}}{c^{3}}=\frac{8\pi L^{3}\nu^{3}}{3 c^{3}}}$

ここで、生井澤先生小形先生の「量子物理」では、

「これより、体積当たりの ${\nu+d\nu\sim\nu}$ の光の自由度は

${N(\nu)d\nu=L^{-3}\displaystyle\frac{dN}{d\nu}d\nu=8\pi c^{-3}\nu^{2}d\nu}$

で与えられる」

と、いきなり（オラにはそう感じるんだ） ${d\nu}$ が出てきます。

えっ。
${\nu+d\nu}$ ？

どこからでてきたのだ、この微小体積面積みたいな記号は。（振動だから、微小振動ですな。）

そして教科書では、この「光の自由度」というものをもとに輻射強度 ${I(\nu,T)}$ を導出する流れになっておるんですね。。。

いっぱいネットで探して、球殻の体積やらblack body in cavityやら（MITのが勉強になった）調べたんだけど・・・
いまいちしっくりきません。

今のところ納得いくのは、

「波には不確定性関係があるので」

というYahoo知恵袋の回答は一番。すごいなヤフー。

ちょっといったんエネルギー密度 ${u(\nu)}$ の式にして、エネルギー等分配則をあたえて休憩。

${u=\displaystyle\frac{8\pi \nu^{2} k_{B}T}{c^{2}}}$

・・・こんな導出記事じゃ納得いかないぞ！（笑
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