40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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黒体放射5〜プランクの放射式〜

頑張って続けましょうえ。続けましょうえ。

今、ウィーンの放射式(変位則)、レイリー=ジーンズの放射式と、黒体放射の説明の歴史になぞって追ってきましただ。


wave-geometry.hatenablog.com


「波長のピークは温度に反比例、振動数は温度に正比例」


{\lambda_{peak}=\displaystyle\frac{\rm{const.}}{T}}

{\rm{const}\sim 2.9\times 10^{6}\rm{\ nmK}}


とのことですな。
ここで、光のスペクトル強度の観点から考察されたのが、ウィーンの放射法則というわけですか?わけですな。

ウィーンの放射則


{I(\nu)=\nu^{3}f\left(\displaystyle\frac{\nu}{T}\right)}



ここで、{I}は放射強度で振動数{\nu}の関数、{f}{\nu}絶対温度{T}の比で決めることにした関数(「普遍関数」って教科書に書いてある。普遍?)。

このは熱力学で演繹したんじゃないようで、プランクはそこに着目した、と放送大学の2014年の放送授業ノートに書いておりました。



・・・そりゃそうですじゃ、今までの理論になぞって考察しておったんでは、いつまでも解決できませんもんな。


しかもこの関数に着目したのは大正解の大成功だったらしいのですだ。


分子分母をおんなじ単位、しかもエネルギーにそろえてみたら、如何。


wave-geometry.hatenablog.com


この回で導出したエネルギー等分配則、


{\displaystyle\frac{1}{2}m\langle v\rangle^{2}=\frac{1}{2}k_BT}


これから、われわれはエネルギーを1自由度あたりの平均エネルギーの式であらわすことができまする。

そう、分子(・・・molecularじゃなくて,numeratorのほうでございますだよ?)も同じエネルギーに表現すればよいのであります。

自作定数をはめこんで、ですだ。

最初から{h}だったかどうかは忘れちまっただ。違うアルファベットだったかもしれねぇ。


{f\left(\displaystyle\frac{\nu}{T}\right)\rightarrow f\left(\displaystyle\frac{h\nu}{k_{B}T}\right)}


ここで{h}プランク常数、

{h=6.626\times 10^{-34}\ \ \ {\rm[Js]}}


振動数{\nu}は単位は{[{\rm Hz}]}、1秒間に何度周波するかなので、時間の逆数の次元ですじゃ。

よって{h\nu}はきもちよくエネルギーだけになり、分子も分母も同じエネルギー。
この関数{f}は、無次元だがエネルギーを表す量になりましただ。



・・・ここで次元解析に進んで万有引力からんでプランク質量のお話になれば、
質量エネルギーとかになるんですか?なるんですか。

でも散漫になるから、ぐっと我慢だわ(;ω;)


今のままでは、まだ黒体放射の説明はできておりませぬ。
関数が新しくなっただけで、式は実験値に合わずに発散したりする。

・・・でも、ちょっと休憩。