黒体放射6〜レイリー＝ジーンズの放射式3〜 - 広島文理科大学波動幾何学研究所

が、頑張る。

さて、レイリー＝ジーンズの放射式のときに、モード ${\mathcal{M(\nu)}}$ の総数 ${\mathcal{N(\nu)}}$ を出すところまで頑張りました。

結果得られたのは、

${\mathcal{N(\nu)}=\displaystyle\frac{8\pi L^{3}\nu^{3}}{3 c^{3}}}$

ですだな。

さて、放射スペクトル ${I(\nu,T)}$ を求める前段階ですじゃ。

モード数密度とでもいいますか、モード総数 ${\mathcal{N}(\nu)}$ 割る考える体積 ${V=L^3}$ を求めます。

${\displaystyle\frac{d}{d\nu}\mathcal{N}d\nu}$

とする、ステキテクニックを使います。

${\mathcal{N}(\nu)d\nu=\displaystyle\frac{1}{L^3}\frac{d}{d\nu}\left(\frac{8\pi L^3\nu^3}{3c^3}\right)d\nu}$

微分が発動、 ${V=L^3}$ は消えるしで、

${\mathcal{N}(\nu)d\nu=\displaystyle\left(\frac{8\pi \nu^2}{c^3}\right)d\nu}$

さて、放射スペクトルという名のエネルギーを求めます。
これについては上下前後左右で自由度６なんじゃないかと思うけど、斜めを入れたら自由度４だということで、

${I(\nu,T)=\displaystyle\frac{1}{4}\times c\langle E\rangle\times \mathcal{N}d\nu}$

こうですな。
ちなみに教科書では、

${I(\nu,T)=\displaystyle\frac{1}{2}（角度平均）\times\frac{1}{2}（進行方向）\times c\langle E(\nu)\rangle\times \mathcal{N}(\nu)}$

となっとります・・・。

あっしのおしまいのモード数の項あたりの理解が足らんようです。
が、先に進みます。
（続く）
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