広島文理科大学波動幾何学研究所

自然哲論お勉強会

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Geometric Series

カッコよく言ってみましたが、幾何級数ですじゃ。
日本の数学（むしろアリスメトリックかもしれん）では冪級数展開というのですか？

例によって英語wikiです。
Geometric series - Wikipedia

幾何というだけあって、図が豊富で目に優しい（謎

なんでこのお題かといいますと、教科書の輪読で出てきたからなんですね…
Geometric seriesって耳慣れない（；ω；

…これらは ${|x|<1}$ のときのお話ですよな？

例： ${\frac{1}{1+x}}$ を級数展開せよ

${f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x}}$ とおく。

また、

${f(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x}=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots}$

とする。簡単のために2次まで計算していきまする。

${(c_0+c_1x+c_2x^2)(1+x)=1}$

${(c_0+c_0x)+(c_1x+c_1x^2)+(c_2x^2+c_2x^3)=1}$

${c_0+(c_0+c_1)x+(c_1+c_2)x^2+c_2x^3=1\cdots (1)}$

この関数が ${x=0}$ のとき、 ${f(0)=1}$ なので、

${c_0=1}$

が、まず得られますだ。
まあ、こうしなくても今回は式から自明ですじゃな。

んで、 ${c_0}$ 以外はぜんぶゼロじゃないと困ります。
だから、

${(c_0+c_1)=0}$

は、

${(1+c_1)=0}$

${c_1=-1}$

で、

${(c_1+c_2)=0}$

は ${c_1=-1}$ より、

${(-1+c_2)=0}$

${c_2=1}$

…となり、求める級数展開は、

${\displaystyle\frac{1}{1+x}=1-x+x^2}$

と。。。
お察しの通り、無限に展開すればオルタナティブですじゃ。

${\displaystyle\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots}$

あ。
教科書に出てきたのは、 ${\frac{1}{1-x}}$ のほうでしたなぁ…。

簡単な算数かもしれないけど、あっしにはとても大事なことでしただ。

（＾▽＾）よかよか
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