40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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角運動量2~面積速度一定の法則~

やっと発表が終わりました(^▽^)
まわりの若い子はホント優秀で、みんなD1にして単位そろえかねない。
一方のこちらはマイペース、マイペースじゃ~と自分で呪文を唱えないと精神が保たれません(;ω;)


さておき、40代からの量子力学、再開いたしますじゃ。


wave-geometry.hatenablog.com

前回は慣性モーメントをえるところまで行ったんですね…。


{L=I\omega,\ \ \ I = mr^2}


イナーシャについては、「面積、質量×面積だ…」と呪文を唱えればいいでしょう(謎)。

今回は古典論の枠組みの中で、角運動量の成分を解析いたします。


まず、{\omega=v/r}をリコール。
↓ここで導出したやつですじゃ。
wave-geometry.hatenablog.com


これと上の慣性モーメントの式から、


{L=I\omega=mr^2\displaystyle\frac{v}{r}}

{=mrv}


{p=mv}なので、最終的には


{L=rmv=rp}


に落ち着きまする。


さて、ここでさらなる分析のために、ケプラーの第2法則と呼ばれる物理法則を用います。
惑星惑星してそうで、心が躍りますな。

f:id:morio_roji1111:20180601202757p:plain

中央の点は太陽、楕円軌道上の丸にジュノジは地球であります。
{r}は半径、{v}は速度で、どちらもベクトルだと思っていただきたいのであります。

何を申し上げたいのかといいますと、地球が太陽に近いところでは勢いよく通り過ぎるんですが、遠く離れると勢いは弱まってるんですな。
中心力のなせる業…ですかいのう?


そういうわけで、{\bf{\it{r}}\cdot \bf{\it{v}}}の関係は常に一定、保存しておるのです。

これを「面積速度一定の法則」というようです…イコール第2法則なのですかな。
ですな。

よって「面積速度=角運動量は保存する」を確かめて利用すれば良い…という寸法じゃ。


さて。

f:id:morio_roji1111:20180601203359p:plain


半径が大きくないと感じにくいですが、かなり大きくなると、円周の部分を直線で近似して、図のように三角形を見出すことができます。

ここから、以下の関係を得るのですな。


{求める面積=\displaystyle\frac{1}{2}\times rv\sin{\theta}}


...{\cos{\theta}}ではないのんね?
そう、ないのです。
そこで、良く知ってるベクトルとコサインの関係、


{\mathbf{r\cdot v}=rv\cos{\theta}}


に当てはめるためには、一工夫必要なのですな。
まず、

{\mathbf{r}=
\left(
\begin{array}{r}
x \\
y \\
\end{array}
\right)
,\ \ \ \mathbf{v}=
\left(
\begin{array}{r}
v_x \\
v_y \\
\end{array}
\right)
}

とおきますだ。


{\sin\theta}=\sqrt{1-\cos^2{\theta}}

{rv \sin\theta}=rv \sqrt{1-\displaystyle(\frac{\mathbf{r\cdot v}}{rv})^2}

{rv\sin\theta}=\sqrt{r^2v^2-\displaystyle r^2v^2 (\frac{\mathbf{r\cdot v}}{rv})^2}

{rv\sin\theta}=\sqrt{r^2v^2-(\mathbf{r\cdot v})^2}

{rv\sin\theta}=\sqrt{\left(
\begin{array}{r}
x \\
y \\
\end{array}
\right)
^2

\left(
\begin{array}{r}
v_x \\
v_y \\
\end{array}
\right)
^2

-

(\mathbf{\left(
\begin{array}{r}
x \\
y \\
\end{array}
\right)

\cdot \left(
\begin{array}{r}
v_x \\
v_y \\
\end{array}
\right)
})^2}

{rv\sin\theta}=\sqrt{(x^2+y^2)(v_x^2+v_y^2)-(xv_x+yv_y)^2}

{rv\sin\theta}=\sqrt{x^2v_x^2+x^2v_y^2+y^2v_x^2+y^2v_y^2-(x^2v_x^2+2xv_y yv_x+y^2v_y^2)}


消える項を整理しますと、


{rv\sin\theta}=\sqrt{x^2v_y^2-2xv_y yv_x+y^2v_x^2}

{rv\sin\theta}=\sqrt{(xv_y-yv_x)^2}


よしよし、でましたな!
求めてきた面積速度=角運動量とやらは、


{rv\sin\theta=|xv_y-yv_x|}


に落ち着きましただ。


ここで最初の角運動量の式{L=rmv=rp}より、


{L=m|xv_y-yv_x|}


{p=mv}より、


{L=xp_y-yp_x}


…ちなみにこの{L}は、{xy}面内の運動に対する外積なので{z}方向、
すなわち


{L_z=xp_y-yp_x}


なのであります。

(続く)
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