40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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交換関係

長い間使ってなかったんで錆ました(;ω;)。


{[\hat{x},\hat{p}]}


この交換関係を求めるのですが、まずは{\psi}つけて考えるんですね。


{[\hat{x},\hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})\psi}



ここで運動量演算子

{\hat{p}=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}}


どすえ。


{[\hat{x},\hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})\psi=\hat{x}\hat{p}\psi-\hat{p}\hat{x}\psi}


最後の項の演算子がかかるときは、関数の積に対しての微分になりますんじゃ。
思い出した思い出した。
4年前もひっかかったんだわさ。

関数の積の微分{(fg)'=f'g+fg'}ですじゃ。


んだから


{[\hat{x},\hat{p}]\psi=\hat{x}\hat{p}\psi-\hat{p}\hat{x}\psi=\hat{x}\hat{p}\psi-(\hat{p}\hat{x}\psi+\hat{x}\hat{p}\psi)}

{=-\hat{p}\hat{x}\psi}

{=-\left(-i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\hat{x}\psi\right)}

{=i\hbar\psi}


最初に戻って、


{[\hat{x},\hat{p}]\psi=i\hbar\psi}


が手に入りましただ。

ここで{\psi}を消去、手に入るのが交換関係、


{[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar}


という寸法ですじゃ。

(;ω;)滂沱。
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