40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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角運動量の代数

ガシオロウィッツを底本に、放送大学の教科書「量子物理」とその授業ノートでお勉強ですじゃ。

今日は角運動量演算子の周辺の操作の練習ですだ。


{[\hat{L_x},\hat{y}]}


この計算をやってみますんだ。


前回の交換関係のお話同様、うしろに{\psi}をつけて進めます。
…イコール、この交換関係のブラケットは演算子ってことなんですかなぁ。


では。


{[\hat{L_x},\hat{y}]\psi=(\hat{L_x}\hat{y}-\hat{y}\hat{L_x})\psi}

ちなみに

{\hat{L_x}=(\hat{y}\hat{p_z}-\hat{z}\hat{p_y})}

なんですな…。

wave-geometry.hatenablog.com



ではまずは第1項、{\hat{L_x}\hat{y}\psi}から。



{\hat{L_x}\hat{y}\psi=(\hat{y}\hat{p_z}-\hat{z}\hat{p_y})\hat{y}\psi}


{=(\hat{y}\hat{p_z}-\hat{z}\hat{p_y})\hat{y}\psi}


{=\hat{y}\hat{p_z}(\hat{y}\psi)-\hat{z}\hat{p_y}(\hat{y}\psi)}


{=\hat{y}^2\hat{p_z}\psi+\hat{p_z}\hat{y}\psi-(\hat{z}\hat{y}\hat{p_y}\psi+\hat{z}\hat{p_y}\hat{y}\psi)}


{=\hat{y}^2\hat{p_z}\psi+\hat{p_z}\hat{y}\psi-\hat{z}\hat{y}\hat{p_y}\psi-\hat{z}\hat{p_y}\hat{y}\psi}



次に第2項、{\hat{y}\hat{L_x}\psi}


{\hat{y}\hat{L_x}\psi=\hat{y}(\hat{y}\hat{p_z}-\hat{z}\hat{p_y})\psi}


{=\hat{y}^2\hat{p_z}\psi-\hat{y}\hat{z}\hat{p_y}\psi}


んさて、1項2項の結果をお互いに差し引きし、関係のない変数に対する偏微分{\hat{p_z}\hat{y}\psi}はゼロになり、後に残るのは以下ですじゃ。


{[\hat{L_x},\hat{y}]\psi=-\hat{z}\hat{p_y}\hat{y}\psi}


ここで{\hat{p}_y=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}}なので、


{[\hat{L_x},\hat{y}]\psi=-\hat{z}\left(-i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\right)\hat{y}\psi}


{=i\hbar\hat{z}\psi}


そうそう、両辺の{\psi}は消去ですな。


{[\hat{L_x},\hat{y}]=i\hbar\hat{z}}


(^▽^)ヤッタ!


ちなみにほかの角運動量演算子との交換関係も同様に調べられ、そっちが今引っかかってるんで、先に足場を固めた次第であります!
(・ω・)ゞ
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