40代からの量子力学

文系おじさん、科学に挑戦!

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角運動量の代数2

…全然関係ないんですけど、実際に放送大学のガチ数学筆記試験アリ系で、スムーズに単位取れたためしがございません(;ω;)。

そうだ、それでこそ我らが放送大学!!
(;ω;)


悲しい過去話はさておき。
ガシオロ先生の教科書の式、(7-6a)がいまいちうまく運べません。
一方、放送大学「量子物理」では、「{[\hat{L}_x, \hat{y}]}と同じようにやりんさい」とだけ書いてある。

ガシオロ先生のほうをリバースエンジニアリングで解析しようとしたが、いまいちしっくりこない…。


とりあえず放大ルートで導出しますね。
材料置いときます:
wave-geometry.hatenablog.com
これの最末尾。
演算子ですが、以降ハットは省略します許して(;ω;)

{L_x=(yp_z-zp_y)}
{L_y=(zp_x-xp_z)}
{L_z=(xp_y-yp_x)}\cdots(*)

{L_z}は後で使うんで記しつけてます(^▽^)。

お約束で{\psi}つけてやるのでゴザル。


さあ。

{[\hat{L}_x,\hat{L}_y]\psi=(yp_z-zp_y)(zp_x-xp_z)\psi}


{=yp_z zp_x\psi-yp_z xp_z\psi-zp_y zp_x\psi+zp_y xp_z\psi}

{-(zp_x yp_z\psi-zp_x zp_y\psi-xp_z yp_z\psi+xp_z zp_y\psi)}


二段に折りました。ご用心。

ここで、関係ない偏微分は消え、2項だけ残ります。


{[\hat{L}_x,\hat{L}_y]\psi=yp_z zp_x\psi-xp_z zp_y\psi}



ここで{\hat{p}_z=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}}なので、

{\hat{p}_z z=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial z}{\partial z}=-i\hbar}となり、



{[\hat{L}_x,\hat{L}_y]\psi=-i\hbar yp_x\psi+i\hbar xp_y\psi}

{=i\hbar(xp_y-yp_x)\psi}


…ここで記しつけてたz軸の角運動量演算子{L_z=(xp_y-yp_x)}\cdots(*)
を思い出しますのじゃ。

{[\hat{L}_x,\hat{L}_y]\psi=i\hbar\hat{L}_z\psi}


プサイを消去すれば!

{[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=i\hbar\hat{L}_z}


(;ω;)感涙


ちなみにほかの成分についても同様、


{[\hat{L}_x,\hat{L}_y]=i\hbar\hat{L}_z}
{[\hat{L}_y,\hat{L}_z]=i\hbar\hat{L}_x}
{[\hat{L}_z,\hat{L}_x]=i\hbar\hat{L}_y}


となりますのだ。

(^▽^)スッキリ。

ガシオロ先生のほうは先輩にでも聞いてみよう…。
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