40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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時間に依存するシュレーディンガー方程式の形式解

長いお題ですなぁ。

さて、放大量子物理のP.97は式(5.10c)。

{\Psi(\mathbf{r},t)=e^{-i\hbar^{-1}\hat{H}t}\Psi(\mathbf{r},0)\cdots(0)}


これがどうして出てきたのか、パッと目にわからなんだ。
わからなんだのでにらめっこしたのであります。


{\Psi(\mathbf{x},t)=e^{i(kx-\omega t)}\cdots(1)}


これは変数分離出来て、


{\Psi(\mathbf{x},t)=\psi(\mathbf{x}) f(t)}

{\psi(\mathbf{x})=e^{ikx}}

{f(t)=e^{-i\omega t}}


と、わかたれるんですな。


シュレーディンガー方程式というのは、波だ波だと言っとる{\hbar\omega}と、
粒子だといっとる{p=mv}を結び付けようと言う試みなのですな。


{E=\displaystyle\frac{p^2}{2m}}


ここから、右辺はド・ブロイの物質波の式使って、


{p=\displaystyle\frac{h}{\lambda}=\frac{h}{2\pi}\frac{2\pi}{\lambda}=\hbar k}


この2乗なんで、

{p^2=\hbar^2 k^2}が右辺に入りますじゃ。


{E=\displaystyle\frac{\hbar^2 k^2}{2m}}


ここで、左辺の波のほうも同様に、


{E=h\nu=\displaystyle\frac{h}{2\pi}{2\pi}{\nu}=\hbar\omega}


これを使いまして、


{\hbar\omega=\displaystyle\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\cdots(2)}


この両辺は同じ{E}なのですわ。
どうにかして同じ波動関数から、この両辺を取り出さねばなりませぬ。

まず右辺から料理しますじゃ!


{\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,t)=ike^{i(kx-\omega t)}=ik\Psi(x,t)}


もっかい


{\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)=-k^2\Psi(x,t)}


…よしよし、これでほかのパラメータ添えたら、右辺はなんとかなりそうですじゃな。


{\displaystyle-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\Psi(x,t)}


おっおー!
あのマイナスって、なんのためにあるんじゃろ~と常々思っとりましたが…なるほどのう…(・ω・)得心。

さて、左辺。{(1)}波動関数から{\omega}を取り出せばよいのですよな。


{\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-i\omega\Psi(x,t)}


よけいな虚数がくっついとるな。
除去じゃ。


{\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\hbar\omega\Psi(x,t)}


(^▽^)できた!


これで元の式(2)を見直しますと、


{\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\displaystyle-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)}


これが、ポテンシャルのない時のシュレーディンガー方程式ですだ。

(・ω・)満足。
いや、まだ最初のひっかかりがありました。


{\hat{H}=\displaystyle-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}}

とおきましょうえ。


{\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=\hat{H}\Psi(x,t)}


変数分離できるんでしたな?


{\displaystyle i\hbar\frac{\partial}{\partial t}f(t)\psi(x)=\hat{H}f(t)\psi(x)}


ここで両辺{\psi(x)}は消去、左辺のモノを右辺に移項しますと、


{\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}f(t)=-i\frac{\hat{H}}{\hbar}f(t)}


…この微分方程式はオラでもとけるだ(・ω・)


{f(t)=e^{-i\frac{\hat{H}}{\hbar}t}}


てなわけで、冒頭の式(0)は、こうやってでてきたんですなぁ。


あの(0)の{\Psi(\mathbf{r},0)}は、{\Psi(\mathbf{r})}だったら、わかりよかったかもしれん。
…いやいや、どのみちポンとは見きれんかったろうけど(・ω・)
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