40代からの量子力学

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平面波の規格化直交関係

量子物理や多体物理の授業を受けていて、基礎がなっていないから解釈がすぐにできないことが多い。
これではいかんのであります。
基礎だキソ(★ω・)ノ

教科書は放大量子物理、第7章の「平面波とその性質」であります。
なんで平面波平面波言うのかと思うたら、

「平面波はreal spaceでもk-spaceでも関数が張れる」

など、便利だからなんですな。

…計算ソフトのユーザーが入り口なこちとらにとっては、かえって疑問なく,すっと受け入れられるのであります。


それで式を追っていたのですが、引っかかったのですな…。

前提は
・3次元平面波
・試しにx軸で考えてる

ここ、{k'_x}のプライムの意味とか全く触れてないけど、勝手な波数?
{k_x}と違えたいだけ?

…先に進みますだ。


{\psi_\boldsymbol{p}(\boldsymbol{r})=Ce^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}}=C\psi_{k_x}(x)C\psi_{k_y}(y)C\psi_{k_z}(z)}


{\psi_\boldsymbol{p}}は運動量に関する固有関数(固有状態)を表現してるんですな。


こっから行ってる操作は、固有関数展開ってやつだと思います。
有限区間{-L/2\leq x\leq L/2}積分してから広義で積分フーリエ変換の流れですじゃな。


{\displaystyle\int_{-L/2}^{+L/2}dx|c|^2 e^{i(k_x-k'_x)x}=|c|^2\displaystyle\frac{2\sin{\{\frac{1}{2}(k_x'-k_x)L}\}}{k_x'-k_x}}


ここで、{\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}(k'_x-k_x)L\cdots(1)}とおいてますだ。


{=|c|^2L\displaystyle\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\cdots(2)}



ここで

{k_x-k'_x=-(k'_x-k_x)}

だし,

{\sin{(k_x-k'_x)}=-\sin{(k'_x-k_x)}}

なので,右辺分子分母とも,

{k_x-k'_x\rightarrow k'_x-k_x}

に戻してるんですなァ.



んで,任意の関数{f(k_x')}をかけてから,無限大のからむ定積分,広義積分とかいうやつの定石で,正負無限大区間積分したものを,極限にとばすようですじゃ.

具体的には,


{\displaystyle\lim_{L\rightarrow \infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}dk'_x\ f(k'_x)\int_{-L/2}^{+L/2}dx\ |c|^2e^{i(k'_x-k_x)x}
}

{=2|c|^2\displaystyle\lim_{L\rightarrow \infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}d\alpha\ f\left(k_x+\frac{2\alpha}{L}\right)\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}
}


…さて.まず,任意の関数の中身はわかりますだ.
(1)の変形で,

{f(k'_x)=f\left(k_x+\displaystyle\frac{2\alpha}{L}\right)}


になったんですな.
問題はアタマの2と,もとあったLがどこにいったかですだ!!

…こいつは頭をひねったんだがわからんで,碩士くんの知恵を借りもうした.


{\displaystyle\frac{d}{d\alpha}k'_x=\frac{d}{d\alpha}\left(k_x+\displaystyle\frac{2\alpha}{L}\right)}


{\displaystyle\frac{d}{d\alpha}k'_x=\displaystyle\frac{2}{L}}


{dk'_x=d\alpha\displaystyle\frac{2}{L}}


へ,変数変換すればよかったのか…(・ω・;)
ぱっと見えないあたり,場数不足でありました….
相変わらずやるな,碩士くん.
これなら(2)にかければ,


{|c|^2L\displaystyle\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\times d\alpha\displaystyle\frac{2}{L}}

{=2|c|^2\displaystyle\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}d\alpha}


(^▽^)スッキリ.


積分公式{\int_{-\infty}^{+\infty}dx\frac{\sin{x}}{x}}を使い,式の続きは


{=2|c|^2 f(k_x)\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}d\alpha\ \frac{\sin{\alpha}}{\alpha}
}

{=2\pi|c|^2 f(k_x)}


となりますだ.


カタワレの{\frac{2\alpha}{L}}{L}が無限大にとんで消えたと判断しましただ.


本日はここまで(・ω・).
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