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フェルミエネルギー・全エネルギー4

シリーズ、フェルミエネルギー・全エネルギーも４回目ですだな。

wave-geometry.hatenablog.com


今日はフェルミ波数{k_F}を出してみますだ。

{k_F=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda_F}\cdots(1)}


それでは。

前回までで、フェルミエネルギー{E_F}は以下の通り得ましただ。

{E_F=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}\cdots(2)}


そもそもの波で表すエネルギーの式は、

{E_F=\displaystyle\frac{\hbar^2 k_{F}^2}{2m}}


これを{k_F}について解くと、

{k_F^{2}=\displaystyle\frac{2mE_F}{\hbar^2}}


この{E_F}に(2)を代入ですじゃ。

{k_F^{2}=\displaystyle\frac{2m}{\hbar^2}\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}}

f:id:morio_roji1111:20180622142920p:plain

ぶかっこうですんませんだ。スラッシュアウトができなかったですだ。
こう、消しあうんですな。キャンセレーション。

んで、

{k_F^{2}=\pi^2\displaystyle\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{2}{3} }}


平方を解きますだ。{k>0}ですだ。

{k_F=\pi\displaystyle\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{1}{3} }\cdots(3)}

(1)を{\lambda_F}について解きますと、

{\lambda_F=\displaystyle\frac{2\pi}{k_F}}


これと(3)から、

{\lambda_F=2\pi\displaystyle\frac{1}{\pi\displaystyle\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}}}


ううむ、

{\lambda_F=\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\left(\frac{3}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}}}


ここで、

{\displaystyle\frac{2}{\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}}=2.03448953638\cdots }

なのだ。
よって、

{\lambda_F=2.03 n^{-\frac{1}{3}}}


…さて。
ここでガシオロ先生、「{n^{-\frac{1}{3}}}は近似的に粒子間の距離dと考えるのだ」とのたもうとる。

…たしかに、3次元が３乗根で1次元に下がると考えれば…？
よいのですかな。
いいのであれば、

{\lambda_F=2.03d}

{d\approx\displaystyle\frac{\lambda_F}{2}}


この意味するところは、「排他原理により電子が離れていないといけない距離＝半波長」とある。

う～ん、一般な式から、こうも普遍的に適用可能なステートメントが導き出せるもんなんですなぁ…。

（・ω・）感慨深い。

～・～・～・～
３乗根の計算は、
keisan.casio.jp
さすが計算機のカシオ様だべ！
（＾▽＾）