時間に独立な摂動論 - 広島文理科大学波動幾何学研究所

おはようございます。
学生につきものの、睡眠不順（ｘωｘ）
辛いですね。

こういう時は、労働時間的には辛かった派遣時代を思い出します。
日曜寝だめしてたなぁ…。

さて、勉強したそばからノートを作らなきゃ（＾▽＾）忘れそう。
というわけで、摂動論やります！

図は太陽の周りをまわる地球を大げさに書いたものですじゃ。
大げさにな。

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赤の軌道が純粋な、邪魔の入らない軌道ですじゃ。
しかし惑星たちは、黒のふらふらした軌道をとる。
それは、太陽以外の重量級の星の引力にも引っ張られるから。

これが「摂動」、perturbationであります。

天文学では「離心率」とか、eccentricityとかいう言葉があるようですなぁ。

まさしく「常軌を逸して」ぐんっとエキセントリック、なんですな。

さて。
物理学に戻りますと、赤の軌道は無摂動項、黒は摂動ありです。
この場合のハミルトニアンは次：

${H=H_0+\lambda V}$

のっけからハットつけずに始まりました。
ここで、 ${H}$ はフルハミルトニアン、 ${H_0}$ は無摂動ハミルトニアン、 ${\lambda V}$ は摂動ポテンシャル。
くっついてる ${\lambda}$ なんですが、これは摂動展開したときの目印にマーキングしているのです。
ご利益はあとでわかりますだ。

われわれは、摂動のない解は（解析的に？）解くことができる。

${H_0|\phi_n\rangle=E_n^{0}|\phi_n\rangle\cdots(1)}$

これを既知の情報、あしがかりとして前に進みましょうぞ！

まず解きたい全体像はShrödinger方程式ですじゃ。

${H|\psi_n\rangle=E|\psi_n\rangle}$

状態nの、時間に依存しないバージョンですだな。
これにさきのハミルトニアンを代入。

${(H_0+\lambda V)|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle\cdots(2)}$

この ${|\psi_n\rangle}$ と ${E_n}$ は摂動展開で表しますじゃ。

${|\psi_n\rangle=|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots}$

${E_n=E_n^{0}+\lambda E_n^{1}+\lambda^2 E_n^{2}+\cdots}$

右肩のsuperscriptは次数を意味しますじゃ。

(1)にこれらを代入、

${(H_0+\lambda V)(|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots)=}$

${=(E_n^{0}+\lambda E_n^{1}+\lambda^2 E_n^{2}+\cdots)(|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots)\cdots(2)}$

これが考える式の全景ですな。

がんばってケットの中にプサイとか入れてる、ガシオロ記法使ってんだけど、かえって見づらい上に疲れてきた…
（；ω；）

閑話休題。
これらの各項の固有関数は完備系で展開可能、 ${|\psi_n^{i}\rangle\ \ \ (i=1,2,3\cdots)}$ なら、

${|\psi_n^{1}\rangle=\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle}$

${|\psi_n^{2}\rangle=\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle}$

${|\psi_n^{3}\rangle=\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^3|\phi_k\rangle}$

${\ \ \ \ \ \ \vdots\cdots(3)}$

が連なってるのですかな。
壮観。

${C_{nk}^i}$ は展開係数で複素数。
なるほど、固有関数の ${|\phi_k\rangle}$ は形を変えないのね。

${|\psi_{n}^{0}\rangle}$ は ${|\phi_{n}\rangle}$ で分けて進めてもだいじょうぶ？
だいじょぶか。

0th Order

まず、0次のオーダー（変な言い方だ）から見ていきますだ。
ここで活躍するのが ${\lambda}$ ですじゃ。
0-orderは、 ${\lambda}$ がつかないところを見ていけばいい。

${H_0|\psi_n^{0}\rangle=E_n^{0}|\psi_n^{0}\rangle}$

すんなりいきましたな。
すなわちイコール(1)の、

${H_0|\phi_n\rangle=E_n^{0}|\phi_n\rangle}$

これが0th orderの場合ですじゃ。
惑星モデルの赤い軌道にふさわしく、見ため的にもstraightforwardでよかよか。
（＾▽＾）

1st Order

１次の項を集めてみましょうえ。
${\lambda}$ がついてるとこを見ればいいですだ。
この場合は ${\lambda^1}$ の意ですだな。

${H_0\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda V|\psi_n^{0}\rangle=E_n^{0}\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda E_n^{1}|\psi_n^{0}\rangle}$

この ${\lambda}$ はあくまでマーキング用なので、消えてもらいますだ。

${H_0|\psi_n^{1}\rangle+V|\psi_n^{0}\rangle=E_n^{0}|\psi_n^{1}\rangle+E_n^{1}|\psi_n^{0}\rangle}$

ここでガシオロ先生の式に近づけるために(1)と(3)を使って努力（？）しますじゃ！

${H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+V|\phi_n\rangle=E_n^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+E_n^{1}|\phi_n\rangle}$

移項して ${H_0}$ は作用させ、

${E_k^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle-E_n^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+V|\phi_n\rangle=E_n^{1}|\phi_n\rangle}$

さらに整理して、

${\displaystyle\sum_{k\neq n} (E_k^{0}-E_n^{0}) C_{nk}^1|\phi_k\rangle+V|\phi_n\rangle=E_n^{1}|\phi_n\rangle\cdots(4)}$

ふぅ、よかよか（・ω・；）

そしていよいよブラ ${\langle\phi_k|}$ を左からかける（遷移後の状態を意味する！）のだが、しかし。
ここでネットで拾ったありがたいスライドから得た情報によると、じゃ。

${k=n}$ の場合は「1次摂動エネルギー」が出てくる

${k\neq n}$ の場合は「１次摂動の波動関数」が出てくる

まじか！（・∀・）…やってみましょうね。
まずは1.から。(4)の全項に ${\langle\phi_n|}$ かけます。

${\langle\phi_n|\displaystyle\sum_{k\neq n} (E_k^{0}-E_n^{0}) C_{nk}^1|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|V|\phi_n\rangle=\langle\phi_n|E_n^{1}|\phi_n\rangle}$

${E_n^{1}=\langle\phi_n|V|\phi_n\rangle}$

まんま出てきた！

「これは非常に重要な式だ。所与の状態の１次のエネルギー遷移は、摂動ポテンシャルの期待値なのである」
byガシオロ先生。

うむむ、しかと覚えときます。

感慨冷めやらぬうちに2. 今度は(4)の全項に ${\langle\phi_k|}$ かけます。

${\langle\phi_k|\displaystyle\sum_{k\neq n} (E_k^{0}-E_n^{0}) C_{nk}^1|\phi_k\rangle+\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle=\langle\phi_k|E_n^{1}|\phi_n\rangle}$