40代からの量子力学

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時間に独立な摂動論2

お疲れ様です(謎

さて、前回は1次の項まで勉強しました。

摂動ポテンシャルの期待値、1次の摂動波動関数を得たのですじゃ。


すなわち、


{\displaystyle\sum_{k\neq n} (E_k^{0}-E_n^{0}) C_{nk}^1|\phi_k\rangle+V|\phi_n\rangle=E_n^{0}|\phi_n\rangle}


ここから、{k=n}のとき


{E_n^{0}=\langle\phi_n|V|\phi_n\rangle}


と、{k\neq n}のとき


{C_{nk}^{1}=\displaystyle\frac{\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{E_k^{0}-E_n^{0}}}


でありますだな…。


本体をリコールしときますだ。


{(H_0+\lambda V)(|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots)=}

{=(E_n^{0}+\lambda E_n^{1}+\lambda^2 E_n^{2}+\cdots)(|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots)}

2nd Order


{\lambda^{2}}について項をピックアップしますだ。


{H_0|\psi_n^{2}\rangle+V|\psi_n^{1}\rangle=E_n^{0}|\psi_n^{2}\rangle+E_n^{1}|\psi_n^{1}\rangle+E_n^{2}|\psi_n^{0}\rangle}


これまた前回同様式を詳細に書き直しますじゃ。


{H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+V\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle=E_n^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+E_n^{1}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+E_n^{2}|\phi_n^{0}\rangle}


それでは左から{\langle\phi_n|}をかけます。


{\langle\phi_n|H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|V\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle=\langle\phi_n|E_n^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|E_n^{1}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|E_n^{2}|\phi_n\rangle}

{\displaystyle\sum_{k\neq n} \langle\phi_n|V|\phi_k\rangle C_{nk}^1=E_n^{2}\cdots(1)}


...第1項ってどうなるんだっけと,ガシオロ先生確認してしまったわ・・・.

きっとこうよね?


{\langle\phi_n|H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle=E_k^{2}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2\langle\phi_n|\phi_k\rangle=0}


よし.

ここで,1次の摂動でderiveした波動関数(を特徴づける係数)を持ってきます.


{C_{nk}^1=-\displaystyle\frac{\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{(E_k^{0}-E_n^{0})}}


これを(1)にほうりこむんですな.


{E_n^{2}=-\displaystyle\sum_{k\neq n} \langle\phi_n|V|\phi_k\rangle\displaystyle\frac{\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{(E_k^{0}-E_n^{0})}}


ガシオロ先生は分母について,順番入れ替えて符号正にしてますな.


{E_n^{2}=\displaystyle\sum_{k\neq n} \displaystyle\frac{\langle\phi_n|V|\phi_k\rangle\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{(E_n^{0}-E_k^{0})}=}

{=\displaystyle\frac{|\langle\phi_n|V|\phi_k\rangle|^2}{(E_n^{0}-E_k^{0})}}


「hermiticity」の一言で説明されてるけど,ようは摂動の{V}がエルミート演算子なんで,複素共役でも同じことなんですなぁ.

転置して共役にするやつ.


…こうしてみると,好きで勝手にVにしたけど,Hにしたほうがわかりやすかったかもな.
(+ω+)

2次は{\langle\phi_k|}はやらんらしい.
微小だからか?


以下,ガシオロ先生からの結言でござる.

{E_n^{0}}が基底なら,分母はマイナス,式もマイナスになる.
・摂動ハミルトニアン{V}の行列要素はおおまかにいって同じ桁なら,近傍の準位は(離れたものより)大きな2次の影響を受ける
・kがnより高いなら,2次は下向きのエネルギー遷移だ.逆もまたしかり.

下は勝手に書いた想像図ですだよ.


f:id:morio_roji1111:20180627221059p:plain


どっかの資料や教科書の忘れ去った記憶からかもしれんけど.

ほんとはこのあとに,摂動展開の一般式から得る{\lambda}の決定などがあるんだけど,ダイジェストできてないんでいつの日かまた(;ω;)