40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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シュレーディンガー方程式を解く3〜ラプラシアン〜

wave-geometry.hatenablog.com


前回がんばってナブラの中身まで出しましただ.


{\nabla = \left(
\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\ 
\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\ 
\displaystyle\frac{\partial}{\partial z} 
\right)
}

{\left\{
\begin{array}
.\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}=\sin{\theta}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos{\theta}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}-\frac{\sin{\phi}}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\\
\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}=\sin{\theta}\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos{\theta}\sin{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\cos{\phi}}{r\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \phi}\\
\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}=\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}
\end{array}
\right.
}


よかよか(^▽^)

で,こんどはラプラシアン,すなわち


{\Delta=\nabla\cdot\nabla}


を求めるのですな.

交換関係の計算で勉強したように.演算子どうしの計算には,後ろに関数が有ると考えて計算するのが正しいのですな.

どういうことかというと,


{\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}}


のようなときには,


{\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\sin{\theta}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}}


この最後の肩の{\psi}みたいな,関数に作用した状態=ひとつの関数と見るんですな.

んで,


f:id:morio_roji1111:20180714114929p:plain


この赤と青の関数の積にかかった微分と見るんですわ.

関数の積の微分ですから,{(fg)'=f'g+fg'}を使って,


{\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\sin{\theta}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\sin{\theta}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}+\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}}


となるわけですじゃ.これ,全部ゼロで消えそうだな….

さて(・∀・).

まずは一番簡単な{\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}}からいくのが常套手段のようですじゃ.
いきますだ.


{
\begin{align}
\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\cdot\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)&=\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\left(\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\\
&=\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}-\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{r}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\\
&\ \ \ \ \ -\frac{1}{r}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\frac{1}{r}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)
\end{align}
}


たとえば最終行第1項の{\displaystyle\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}}

{\cos{\theta}}はただの数なので,演算子の前に集めちゃうんですな.

{\displaystyle\cos^2{\theta}\frac{\partial^2}{\partial r^2}}


こうなるわけか...(・〜・)この調子でいきますじゃ.


{
\begin{align}
\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\cdot\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)&=
\displaystyle\cos^2{\theta}\frac{\partial^2}{\partial r^2}-\cos{\theta}\sin{\theta}\left(\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)\\
&\ \ \ \ -\frac{1}{r}\sin{\theta}\left(\frac{\partial}{\partial\theta}\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial r}+\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial r}\right)\\
&\ \ \ \ +\frac{1}{r^2}\sin{\theta}\left(\frac{\partial}{\partial\theta}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}+\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)
\end{align}
}


最後の項なんかも,


f:id:morio_roji1111:20180714123930p:plain


緑の{-\displaystyle\frac{1}{r}}は作用の対象じゃないんで前にでて,赤と青が積の微分の対象になったんですなァ.


結局,


f:id:morio_roji1111:20180714125756p:plain


赤青の項はめいめいまとまり,


{
\begin{align}
\left(\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\cdot\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\right)&=\displaystyle\cos^2{\theta}\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r^2}\sin{\theta}\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{2}{r}\sin{\theta}\cos{\theta}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta}\\
&\ \ \ \ +\frac{1}{r}\sin^2{\theta}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\sin^2{\theta}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}
\end{align}
}


(^▽^;)ふぅ...

一番項の少ない{\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}}でも,結構大変(汗


ほかのやつもやらねばな...(;▽;)