シュレーディンガー方程式を解く6〜ラプラシアン4〜 - 広島文理科大学波動幾何学研究所

ついつい寝ダメしちゃった日曜日，みなさまいかがお過ごしでしょうか．
（・∀・）

うち，テレビないんで，YouTubeで日本のドキュメンタリィ見るとか，あまり有意義でなく過ごせて非常に満足です（；ω；）

さて．シュレーディンガー方程式の演算子部分を球座標に変換するために四苦八苦しましただな．
これ，３９歳で初めて量子論習ってから４年来，ずっとやりたかったんですだ．

もうちょっとなんでがんばりますんだ．
（＾▽＾）

さて．
演算子の中身はそれぞれ，

${\begin{align} \displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2} &=\sin^2{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial^2}{\partial r^2}-\frac{2}{r^2}\sin{\theta}\cos{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{2}{r}\sin{\theta}\cos{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta}\\ &\ \ \ \ +\frac{1}{r^2}\sin{\phi}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial\phi}-\frac{2}{r}\sin{\phi}\cos{\phi}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta}+\frac{1}{r}\cos^2{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\\ &\ \ \ \ +\frac{1}{r^2}\cos^2{\theta}\cos^2{\phi}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\cos^2{\theta}\sin{\phi}\cos{\phi}}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial\phi}\\ &\ \ \ \ -\frac{2}{r^2}\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}\cos{\phi}}{\sin{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\theta\partial\phi}+\frac{\sin^2{\phi}}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\sin^2{\phi}\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}\\ &\ \ \ \ +\frac{1}{r^2}\frac{\sin{\phi}\cos{\phi}}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{1}{r^2}\frac{\sin^2{\phi}}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \end{align} }$

${\begin{align} \displaystyle\frac{\partial^2}{\partial y^2} &=\sin^2{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial^2}{\partial r^2}-\frac{2}{r^2}\sin{\theta}\cos{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{2}{r}\sin{\theta}\cos{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta}\\ &\ \ \ \ -\frac{1}{r^2}\sin{\phi}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{2}{r}\sin{\phi}\cos{\phi}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\phi}+\frac{1}{r}\cos^2{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r}\\ &\ \ \ \ +\frac{1}{r^2}\cos^2{\theta}\sin^2{\phi}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}-\frac{1}{r^2}\frac{\cos^2{\theta}\sin{\phi}\cos{\phi}}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial\phi}\\ &\ \ \ \ +\frac{2}{r^2}\frac{\cos{\theta}\sin{\phi}\cos{\phi}}{\sin{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\theta\partial\phi}+\frac{1}{r}\cos^2{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\cos{\theta}\cos^2{\phi}}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}\\ &\ \ \ \ -\frac{1}{r^2}\frac{\sin{\phi}\cos{\phi}}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial}{\partial\phi}+\frac{1}{r^2}\frac{\cos^2{\phi}}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\\ \end{align}\\ }$

${ \begin{align} \displaystyle\frac{\partial^2}{\partial z^2} &=\displaystyle\cos^2{\theta}\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r^2}\sin{\theta}\cos{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{2}{r}\sin{\theta}\cos{\theta}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta}\\ &\ \ \ \ +\frac{1}{r}\sin^2{\theta}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\sin^2{\theta}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} \end{align} }$

こうなりましただ．
これらは，

${\Delta=\nabla\cdot\nabla=\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}}$

と，あたかもベクトルの内積のように計算されますじゃ．
まあ実際に同じ性質なんでしょうよ．

そして項の一番右端の演算子にあわせてまとめていきますんじゃ．

例えば，各第１項は，

${\displaystyle \left(\sin^2{\theta}\cos^2{\phi}+\sin^2{\theta}\sin^2{\phi}+\cos^2{\theta}\right)\frac{\partial^2}{\partial r^2} }$

これは， ${\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1}$ が存分に使えまして，三角関数が残らず1になって

${ \displaystyle\left(\sin^2{\theta}\cos^2{\phi}+\sin^2{\theta}\sin^2{\phi}+\cos^2{\theta}\right)\frac{\partial^2}{\partial r^2}=\frac{\partial^2}{\partial r^2} }$

となりますだ．

．．．この調子で残らずまとめていくと，かなり気持ちよく各項消えていき，残ったのは以下ですじゃ．

${\begin{align} \Delta= \displaystyle\frac{\partial^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{1}{r^2}\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{r^2}\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \end{align} }$

（；ω；）感涙…．

自力でがんばれたのはここまでで，このあとにもう一段階，見やすくした式の形があるようですだな．

${\begin{align} \Delta= \displaystyle\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \end{align} }$

これにより，シュレーディンガー方程式は，ポテンシャルを ${V}$ とすると，

${\left[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\left(\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)+V(\textbf{x})\right]\Psi(\mathbf{x})=E\Psi(\mathbf{x})}$

だったのが，

${\begin{align} \left[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\left\{\displaystyle\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\}+V(\mathbf{r})\right]\Psi(\mathbf{r})=E\Psi(\mathbf{r}) \end{align} }$