40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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シュレーディンガー方程式を解く7〜変数分離〜

明日group meetingなのに,全く関係ないことをやり,快感(・∀・)

それでは,続きをやりますね.
といっても,徹底的に根っこを調べる方向ではなく,主に教科書のお勉強ですじゃ.


{\begin{align}
\left[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\left\{\displaystyle\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\}+V(\mathbf{r})\right]\Psi(\mathbf{r})=E\Psi(\mathbf{r})
\end{align}
}


前回はこのように,球座標表示のシュレーディンガー方程式を手に入れましただ.

ここからの目標はご存知の通り,式を動径部分と角度部分に分けるのです.

波動関数が,


{\Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)}


とわけられることを前提において進むのですじゃ.

そのためにまず,得た球座標の表示の式を整理します.


{\begin{align}
\ -\displaystyle\frac{\hbar^2}{2mr^2}\left\{\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}-\frac{2mr^2}{\hbar^2}V(\mathbf{r})\right\}\Psi(\mathbf{r})=E\Psi(\mathbf{r})
\end{align}
}

{\begin{align}
\left[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2mr^2}\left\{\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)\right\}-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2mr^2}\left\{\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\}-\frac{2mr^2}{\hbar^2}V(\mathbf{r})\right]\Psi(\mathbf{r})=E\Psi(\mathbf{r})
\end{align}
}


こうなると,真ん中のシータの項が計算できちゃうんですな.


{\begin{align}
\left[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2mr^2}\left\{\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)\right\}-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2mr^2}\left\{\frac{1}{\sin{\theta}}\left(\frac{\partial}{\partial\theta}\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}+\sin{\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\}-\frac{2mr^2}{\hbar^2}V(\mathbf{r})\right]\Psi(\mathbf{r})=E\Psi(\mathbf{r})
\end{align}
}

{\begin{align}
\left[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2mr^2}\left\{\displaystyle\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)\right\}-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2mr^2}\left\{\left(\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\right)+\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right\}-\frac{2mr^2}{\hbar^2}V(\mathbf{r})\right]\Psi(\mathbf{r})=E\Psi(\mathbf{r})
\end{align}
}


まずはここまで.