2018-05-01

ボーア模型③

量子力学

ほかの点はというと：

1.
アインシュタインの光電効果の理論と同様に、Bohrの式は、量子ジャンプ中に離散量のエネルギーが放射されると仮定している。

しかし、アインシュタインとは異なり、ボーアは電磁界の古典的なマクスウェル理論にこだわった。

電磁場の量子化は、原子エネルギーレベルの離散性によって説明された。

ボーアはフォトンの存在を信じなかったのだ。。。

2.
マックスウェル理論によれば、古典放射の周波数 ${\nu}$ は、軌道上の電子の回転周波数 ${\nu_{\rm{rot}}}$ に等しく、この周波数の整数倍の高調波を伴う。

この結果は、 ${k}$ が ${n}$ よりはるかに小さいときのエネルギレベル ${E_{n}}$ と ${E_{n-k}}$ との間のジャンプについてBohrモデルから得られる。

これらのジャンプは、軌道 ${n}$ の ${k}$ 番目の高調波の周波数を再現します。

${n}$ の十分に大きな値（いわゆるRydberg状態）に対して、放出プロセスに関与する2つの軌道は、ほぼ同じ回転周波数を有するので、古典的な軌道周波数は不明瞭ではない。

しかし、小さな ${n}$ （または大きな ${k}$ ）では、放射周波数には明確な古典的解釈がない。

これは対応原理の誕生を意味しており、量子論は大量量子数の極限で、古典理論と一致する必要がある。

3.
Bohr-Kramers-Slater理論（BKS理論）は、ボーアモデルを拡張しようとし、失敗した試みであり、量子跳躍におけるエネルギーと運動量の保存に違反しており、保存則は平均的にしか保たない。
（しっくりきてないです、ゴメンナサイ（xωx））

角運動量が ${\hbar}$ の整数倍であるというBohrの条件は、定在波（原文standing waveですが、定常波でも。）条件としてde Broglieによって1924年に後で再解釈されました。

電子は波によって記述され、波長の全数は電子の軌道の円周（circumference）に沿って適合しなければならないです：

${n\lambda=2\pi r.}$

Bohrは電子軌道の角運動量を ${\frac{1}{2}h}$ と記述し、一方、Broglie波長の ${\lambda=h/p}$ は ${h}$ を電子の運動量でわったもので記述しています。

しかし、1913年にボーアは、波の（性質の）解釈を一切提供せずに、対応原理に訴えることによって、彼のルールを正当化してしまいました。

1913年には、電子などの物質粒子（すなわち物質波）の波の振る舞いに疑義はありませんでした。

1925年に、新しい種類の力学、量子力学が提案されました。量子力学では、量子化された軌道を移動する（traveling）電子のBohrのモデルは、電子の運動のより正確なモデルに拡張されました。

その新しい理論はWerner Heisenbergによって提案されました。

オーストリアの物理学者ErwinSchrödingerは、同じ理論のもう一つの形式、波動力学を別々に推論していました。

Schrodingerはde Broglieの物質波を用いましたが、正の核電荷のポテンシャルに閉じ込められて、水素様原子の原子核の周りを動くように制約された電子を記述する、三次元波動方程式の波動解を求めました。

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いかん……。
このまま膨大なボーアモデルの歴史がつらつらと！！

結論：ボーアモデルのWikiは、日本語版の内容で十分だ。
ボーア模型の英語wikiの訳はここまでここまで。

しっかし、この英語版wiki書いた人は、ボーア先生のお弟子さんかね？（笑

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2015-11-01

パラメータの(x, t)①～時間依存シュレーディンガー方程式

量子力学

　タイトルはTexタグが使えないようで、残念。
　簡単なところをうろうろして申し訳ないが、表題の件、パラメータのx, tについて。
　これはもちろんxは空間、tは時間のことで、波動関数の記述が下記のようになる。

${\psi(x,t)=A\exp{\left[\displaystyle\frac{i}{\hbar}(px-Et)\right]}}$

　この波動関数 ${\psi}$ をそれぞれ空間、時間について微分すると、

${\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial t}=-i\frac{E}{\hbar}\psi\cdots(1)}$

${\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x}=-i\frac{p}{\hbar}\psi\cdots(2)}$

が出て来る。

これと古典的なハミルトニアンとのアナロジーから、

${H=\displaystyle\frac{p^{2}}{2m}+V}$

の ${p^{2}}$ の所に、乗数を微分の階数に置き換えた演算子を代入する。

${p\rightarrow\displaystyle\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}}$

${\ \rightarrow -i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}}$

自由粒子なので ${V=0}$ として考え、

${\hat{H}=\displaystyle\frac{1}{2m}\left(i^{2}\hbar^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right)}$

${\ \ =-\displaystyle\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}}$

かくしてシュレーディンガー方程式に至る。
　さらに式(1)より、

${i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\psi=\hat{H}\psi}$

　この形は時間に依存するシュレーディンガー方程式と呼ばれる。
　要するに、時間とともに波動関数が変化するということだろう。
　これに対して定在波だけの波動関数には、パラメータのtは無い。
　時間がどう変化しようが、形が変わらないからだ。

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2015-10-26

電磁波について②

量子力学波動幾何学

　先日のローレンツの式に続き、電磁波の話。
　マクスウェルの方程式は、四つの式で電場と磁場の運動を表している。

${\nabla\cdot{\bf E}=\displaystyle\frac{\rho}{\epsilon_{0}}}$

${\nabla\cdot{\bf B}=0}$

${\nabla\times{\bf E}=-\displaystyle\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}}$

${\nabla\times{\bf B}=\mu_{0}\left({\bf j}+\epsilon_{0}\displaystyle\frac{\partial{\bf E}}{\partial t}\right)}$

　このすっきりした表式に至るまでに、場が回転と発散で定義できること、ガウスの公式とストークスの公式が必要だった。
　ナブラの後ろがドットだと勾配すなわち発散、クロスだと外積すなわち回転を示している。
　四つの式が表すところもその表式を直訳すれば判明する。

　・電場の勾配（湧出）は電荷と誘電率によること、磁場に発散は無いこと。すなわちガウスの法則。
　・回転する電場は磁場を生起させること、すなわちファラデーの電磁誘導の法則。
　・最後に、回転する磁場も電場を生起すること、すなわちアンペールの法則の一般化。

　まずはここを足掛かりに電磁波について勉強するのだが、この当時のバックグラウンドには、媒質としてのエーテルの概念があったように思われる。
　マイケルソン・モーリーの干渉計の実験で存在が否定された、そう学んだように記憶しているが、エーテルがどれほど浸透していたのか、そこいらも科学史としては興味があるところだ。

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