40代からの量子力学

文系おじさん、科学に挑戦!

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フェルミエネルギー・全エネルギー

わぁ~、こんなごっつい実用(?)に近い話が出てくるなんて、夢にも思わなんだわ。

では、いきますぜ!


一辺{L}の立方体を考えますだ。

{E_n=\displaystyle\frac{\hbar^2 \pi^2}{2mL^2}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})}


図にするとこんな感じで…。

f:id:morio_roji1111:20180617202917p:plain

わははは。
ガシオロ先生の教科書の表紙が、まんま。
軸の添え字が1,2,3になってるのをx,y,zで解釈すればよいよね。


そういうわけで、考える系は{n_x,n_y,n_z>0}なので、
{R^2=(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})}とすると、

{\displaystyle\frac{1}{8}\times\frac{4}{3}\pi R^3}

なのですな。

ここからわかることは、{R}は最もエネルギーの高いFermi statesを表すということである。

よって、


{E_F=\displaystyle\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}R^2}

(つ★づ★く)