広島文理科大学波動幾何学研究所

自然哲論お勉強会

応援いただけましたら励みになります（・ω・）ノシ

フェルミエネルギー・全エネルギー2

前回の続き…というかあまりにもいい加減だったんで（汗

wave-geometry.hatenablog.com

簡単？
う～ん…

まず、ここはk空間ですだ。
この原点が最安定状態、もっともエネルギーの低い状態に違いないですじゃ。

原点から順番に格子点（k点）を埋めていきますだ。
一つの状態には２つの電子がカウントできますじゃ。
となるとこの格子点は軌道そのものですだなぁ。

…全部埋め終わりましただ。
ここで考えるエネルギーの最も高い位置が、この球（2Dなんで円ですだども）の表面の部位ですじゃ。

f:id:morio_roji1111:20180618175424p:plain

これは2Dの場合ですだな。

エネルギーは

${E=\displaystyle\frac{\hbar^2k^2}{2m}}$

で、そもそもここは固体物理ですだ。
所与の系は周期境界条件が適用されますだ。

${\psi(r+R)=\psi(r)}$

ブロッホの定理ってやつですだな。
ここから、

${e^{ik(r+L)}=e^{ikr}}$

${e^{ikr}\cdot e^{ikL}=e^{ikr}\cdot 1}$

よって

${e^{ikL}=1}$

…ここから、

${kL=n\pi}$

${k=\displaystyle\frac{n\pi}{L}\ \ \ (n=1,2,3,\dots)}$

が導き出されるわけで。
このkを使いますだ。

${E=\displaystyle\frac{\hbar^2k_{x}^2}{2m}=\frac{\hbar^2\pi^2n_{x}^2}{2mL^2}}$

…とってつけたように添え字を入れちまいましたが、これは１次元の場合で、３次元に拡張すると、こうですだ。

${E=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}(n^{2}_x+n^{2}_y+n^{2}_z)}$

ガシオロ先生は「縮重してるから気を付けろ」っていうとられるが、今はピンとこん。

…あ・・・ ${(n_x,n_y,n_z)}$ の組み合わせが ${(1,1,2)}$ でも ${(2,1,1)}$ でも同じ ${E}$ になる可能性があるってことか！
いまわかったわ（・ω・）

さああ、求める目標は ${\mathcal{N}}$ 、電子数ですじゃ。
これは求めるフェルミ球の、フェルミ面内側の格子点の数×2（１格子点にスピンの異なる電子が入れおるから）、すなわち

${\mathcal{N}=2\times\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\cdots(1)}$

それから、フェルミエネルギーは

${E_F=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}(n^{2}_x+n^{2}_y+n^{2}_z)}$

ここで ${R^2=n^{2}_x+n^{2}_y+n^{2}_z}$ なので、

変形して

${R^2=\displaystyle\frac{2mE_F L^2}{\hbar^2\pi^2}}$

これを(1)に代入しますだ。
${R^2}$ と ${R^3}$ であわんじゃにゃーか、そう思いましたが、授業でセンセがテクニックを見せて下さったのじゃ。

${(R^2)^{\frac{3}{2}}=R^3}$

うむむ、お見事。
これを使えば、

${\mathcal{N}=2\times\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi \left(\frac{2mE_F L^2}{\hbar^2\pi^2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

${=\displaystyle\frac{\pi}{3}\left(\frac{2mE_F L^2}{\hbar^2\pi^2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

「エネルギー ${E_F}$ 未満の電子数の数 ${\mathcal{N}}$ 」は、上記のごとしですだ。

さらにもっかいテクニック使って ${L}$ を外に出しますだ。
すなわち、

${(L^2)^{\frac{3}{2}}=L^3}$

ですだな。
それ、

${\mathcal{N}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\left(\frac{2mE_F}{\hbar^2\pi^2}\right)^{\frac{3}{2}}L^3}$

例えばその体積を ${L^3=\Omega}$ とおくと、電子密度 ${n}$ は

${n=\displaystyle\frac{\mathcal{N}}{\Omega}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\left(\frac{2mE_F}{\hbar^2\pi^2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

…と、電子密度があらわされましたな！
ここからフェルミエネルギー ${E_F}$ と電子密度 ${n}$ の関係までもっていきますと、

${\displaystyle\frac{3n}{\pi}=\displaystyle\left(\frac{2mE_F}{\hbar^2\pi^2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

${\left(\displaystyle\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}=\displaystyle\frac{2mE_F}{\hbar^2\pi^2}}$

${\left(\displaystyle\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}=E_F}$

久々に（；ω；）感涙
（続く）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
↓応援いただけましたら励みになります（・ω・）ノシ