40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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フェルミエネルギー・全エネルギー2

前回の続き…というかあまりにもいい加減だったんで(汗

wave-geometry.hatenablog.com


簡単?
う~ん…

まず、ここはk空間ですだ。
この原点が最安定状態、もっともエネルギーの低い状態に違いないですじゃ。

原点から順番に格子点(k点)を埋めていきますだ。
一つの状態には2つの電子がカウントできますじゃ。
となるとこの格子点は軌道そのものですだなぁ。

…全部埋め終わりましただ。
ここで考えるエネルギーの最も高い位置が、この球(2Dなんで円ですだども)の表面の部位ですじゃ。

f:id:morio_roji1111:20180618175424p:plain

これは2Dの場合ですだな。

エネルギーは

{E=\displaystyle\frac{\hbar^2k^2}{2m}}


で、そもそもここは固体物理ですだ。
所与の系は周期境界条件が適用されますだ。

{\psi(r+R)=\psi(r)}

ブロッホの定理ってやつですだな。
ここから、

{e^{ik(r+L)}=e^{ikr}}

{e^{ikr}\cdot e^{ikL}=e^{ikr}\cdot 1}


よって

{e^{ikL}=1}


…ここから、

{kL=n\pi}

{k=\displaystyle\frac{n\pi}{L}\ \ \ (n=1,2,3,\dots)}


が導き出されるわけで。
このkを使いますだ。


{E=\displaystyle\frac{\hbar^2k_{x}^2}{2m}=\frac{\hbar^2\pi^2n_{x}^2}{2mL^2}}


…とってつけたように添え字を入れちまいましたが、これは1次元の場合で、3次元に拡張すると、こうですだ。

{E=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}(n^{2}_x+n^{2}_y+n^{2}_z)}


ガシオロ先生は「縮重してるから気を付けろ」っていうとられるが、今はピンとこん。

…あ・・・{(n_x,n_y,n_z)}の組み合わせが{(1,1,2)}でも{(2,1,1)}でも同じ{E}になる可能性があるってことか!
いまわかったわ(・ω・)


さああ、求める目標は{\mathcal{N}}、電子数ですじゃ。
これは求めるフェルミ球の、フェルミ面内側の格子点の数×2(1格子点にスピンの異なる電子が入れおるから)、すなわち

{\mathcal{N}=2\times\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\cdots(1)}


それから、フェルミエネルギーは

{E_F=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}(n^{2}_x+n^{2}_y+n^{2}_z)}


ここで{R^2=n^{2}_x+n^{2}_y+n^{2}_z}なので、

変形して

{R^2=\displaystyle\frac{2mE_F L^2}{\hbar^2\pi^2}}


これを(1)に代入しますだ。
{R^2}{R^3}であわんじゃにゃーか、そう思いましたが、授業でセンセがテクニックを見せて下さったのじゃ。


{(R^2)^{\frac{3}{2}}=R^3}


うむむ、お見事。
これを使えば、


{\mathcal{N}=2\times\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi \left(\frac{2mE_F L^2}{\hbar^2\pi^2}\right)^{\frac{3}{2}}}

{=\displaystyle\frac{\pi}{3}\left(\frac{2mE_F L^2}{\hbar^2\pi^2}\right)^{\frac{3}{2}}}


「エネルギー{E_F}未満の電子数の数{\mathcal{N}}」は、上記のごとしですだ。

さらにもっかいテクニック使って{L}を外に出しますだ。
すなわち、

{(L^2)^{\frac{3}{2}}=L^3}


ですだな。
それ、

{\mathcal{N}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\left(\frac{2mE_F}{\hbar^2\pi^2}\right)^{\frac{3}{2}}L^3}


例えばその体積を{L^3=\Omega}とおくと、電子密度{n}


{n=\displaystyle\frac{\mathcal{N}}{\Omega}=\displaystyle\frac{\pi}{3}\left(\frac{2mE_F}{\hbar^2\pi^2}\right)^{\frac{3}{2}}}


…と、電子密度があらわされましたな!
ここからフェルミエネルギー{E_F}と電子密度{n}の関係までもっていきますと、


{\displaystyle\frac{3n}{\pi}=\displaystyle\left(\frac{2mE_F}{\hbar^2\pi^2}\right)^{\frac{3}{2}}}

{\left(\displaystyle\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}=\displaystyle\frac{2mE_F}{\hbar^2\pi^2}}

{\left(\displaystyle\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}=E_F}


久々に(;ω;)感涙
(続く)
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