40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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ヤコビアン〜Change of Variables〜

前回極座標変換するのを頑張りましただ.

wave-geometry.hatenablog.com


ちょっと課題で地獄見たついでにメモ的に.
(;ω;)

方向微分っていうんですか?
これのことだったのか.


{\mathbf{J}=\left(
\begin{array}
.\displaystyle\frac{\partial x}{\partial r} && \displaystyle\frac{\partial x}{\partial\theta} && \displaystyle\frac{\partial x}{\partial\phi} \\
\displaystyle\frac{\partial y}{\partial r} && \displaystyle\frac{\partial y}{\partial\theta} && \displaystyle\frac{\partial y}{\partial\phi} \\
\displaystyle\frac{\partial z}{\partial r} && \displaystyle\frac{\partial z}{\partial\theta} && \displaystyle\frac{\partial z}{\partial\phi}
\end{array}
\right)
}


この{\mathbf{J}}こそがヤコビアンですだな.

これで変数変換も怖くない怖くない.


...う〜ん,前回だしたラプラシアンの変換と,分子分母が逆さまなんだな.
きっと役割がちがうのだろう.
ちなみにカルテジアンが分母,球座標が分子でやてみると,見事に{\displaystyle\frac{1}{r^2\sin{\theta}}}とサカサマに.


では,


{\left\{
\begin{array}
.x = r\sin{\theta}\cos{\phi}\\
y = r\sin{\theta}\sin{\phi}\\
z = r\cos{\theta}
\end{array}
\right.
}


これを使ってそのまま微分して中身作りますだな.

たとえば,


{\displaystyle\frac{\partial x}{\partial r}=\sin{\theta}\cos{\phi}}


こんなふうに.

では,


{\mathbf{|J|}=\left|
\begin{array}
.\sin{\theta}\cos{\phi} && r\cos{\theta}\cos{\phi} && -r\sin{\theta}\sin{\phi} \\
\sin{\theta}\sin{\phi}  && r\cos{\theta}\sin{\phi} && r\sin{\theta}\cos{\phi} \\
\cos{\theta}  && -r\sin{\theta} && 0
\end{array}
\right|
\\
\\
=r^2\sin{\theta}
}


と,なんときっちり微小体積を球座標で積分する場合の差異がでてくるんですな.


{dxdydz \to |\mathbf{J}|dr d\theta d\phi}

{= r^2\sin{\theta}dr d\theta d\phi}


ほほう.
(・ω・)