交換関係 - 広島文理科大学波動幾何学研究所

長い間使ってなかったんで錆ました（；ω；）。

${[\hat{x},\hat{p}]}$

この交換関係を求めるのですが、まずは ${\psi}$ つけて考えるんですね。

${[\hat{x},\hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})\psi}$

ここで運動量演算子は

${\hat{p}=-i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}}$

どすえ。

${[\hat{x},\hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x})\psi=\hat{x}\hat{p}\psi-\hat{p}\hat{x}\psi}$

最後の項の演算子がかかるときは、関数の積に対しての微分になりますんじゃ。
思い出した思い出した。
4年前もひっかかったんだわさ。

関数の積の微分は ${(fg)'=f'g+fg'}$ ですじゃ。

んだから

${[\hat{x},\hat{p}]\psi=\hat{x}\hat{p}\psi-\hat{p}\hat{x}\psi=\hat{x}\hat{p}\psi-(\hat{p}\hat{x}\psi+\hat{x}\hat{p}\psi)}$

${=-\hat{p}\hat{x}\psi}$

${=-\left(-i\hbar\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\hat{x}\psi\right)}$

${=i\hbar\psi}$

最初に戻って、

${[\hat{x},\hat{p}]\psi=i\hbar\psi}$

が手に入りましただ。

ここで ${\psi}$ を消去、手に入るのが交換関係、

${[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar}$

という寸法ですじゃ。

（；ω；）滂沱。
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