40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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フェルミエネルギー・全エネルギー3

夜中に目が覚めちまったんで,続きをば.

wave-geometry.hatenablog.com


前回はこれを得たんですな↓

{E_F=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\left(\frac{3n}{\pi}
\right)^{\frac{2}{3}}}


ここにでてくる{n}は,電子密度の{n}ですじゃ.


{n=\displaystyle\frac{N}{V}\cdots(*)}


where, {N}は電子の総数,{V=L^3}で体積.


余談ですが,センセが黒板に「體積」ってガツガツ書くのがほほえましい(・∀・)


…んで,今日は全エネルギー{E_{tot}}を求めますだよ.

とはいえ,すでに電子のフェルミ海の表面が知れているので,体積積分すりゃよいんですな.


{E_{tot}=\displaystyle\frac{1}{8}\int d^3 \mathbf{n}\cdots(1)}


ガシオロ先生曰く,「積分したら球全体になっちゃうんで,改めてoctan(1/8)指定しなきゃならん」とのことですじゃ.

元の式は


{E=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\mathbf{n}^2}


からスタートですだ.
これと(1)より,


{E_{tot}=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\frac{1}{8}\int \mathbf{n}^2 d^3 \mathbf{n}\cdots(2)}


ここで,状態数({n}のことですな)につき,電子はスピン上下の2個入れるんで,{\times 2}するんですな.

ついでに碩士くん直伝の変数変換も.

{\mathbf{n}=\displaystyle\frac{4}{3}\pi n^3}

{\displaystyle\frac{d\mathbf{n}}{dn}=4\pi n^2}

{d\mathbf{n}=4\pi n^2 dn}


これを(2)に無理やり放り込めば,


{E_{tot}=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{mL^2}\frac{1}{8}\int_{0}^{R} n^2 4\pi n^2 dn}

{=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{mL^2}\frac{1}{8}\int_{0}^{R} 4\pi n^4 dn}

{=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{8mL^2}\frac{4\pi}{5}R^5}

{=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{10mL^2}R^5\cdots(3)}


(^▽^)よしよし.


ここで,前回の式(1)をリコール.

{N=2\times\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3}


考えるフェルミ球の1/8体積が電子数,の式ですじゃ.

これを{R^3}について解くと,


{R^3=\displaystyle\frac{3N}{\pi}}



これをさっき出した全エネルギーの式,(3)に,例の指数のテクニックで代入するんですな.

{R^5=(R^3)^{\frac{5}{3}}}


それでは,

{E_{tot}=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{10mL^2}\left(\frac{3N}{\pi}\right)^{\frac{5}{3}}}

{=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{10m}\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{5}{3}}L^3}


おしまいの{L^3}をセンセが,「形に関係なく」とか「体積に関係なく」とか言って説明してましたわ.

そこにどうやって変形したのか.

電子密度の式(*)を使いますだ.目標は

{\displaystyle\left(\frac{N}{L^3}\right)^{5/3}}


こうしたいんですな.変形すると,


{\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{(L^3)^{\frac{5}{3}}}=\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{L^5}}


ちなみに現状は,


{\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{L^2}}


よって,{L^{-2}=L^{-5}+L^3}


{\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{L^5}L^3}


と変形したんですなぁ….


いかん,へんな眠気が(+ω+)

今日はここまでっ.