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フェルミエネルギー・全エネルギー3

夜中に目が覚めちまったんで，続きをば．

wave-geometry.hatenablog.com


前回はこれを得たんですな↓

{E_F=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\left(\frac{3n}{\pi} \right)^{\frac{2}{3}}}


ここにでてくる{n}は，電子密度の{n}ですじゃ．


{n=\displaystyle\frac{N}{V}\cdots(*)}


where, {N}は電子の総数，{V=L^3}で体積．


余談ですが，センセが黒板に「體積」ってガツガツ書くのがほほえましい（・∀・）


…んで，今日は全エネルギー{E_{tot}}を求めますだよ．

とはいえ，すでに電子のフェルミ海の表面が知れているので，体積積分すりゃよいんですな．


{E_{tot}=\displaystyle\frac{1}{8}\int d^3 \mathbf{n}\cdots(1)}


ガシオロ先生曰く，「積分したら球全体になっちゃうんで，改めてoctan（1/8）指定しなきゃならん」とのことですじゃ．

元の式は


{E=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\mathbf{n}^2}


からスタートですだ．
これと(1)より，


{E_{tot}=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\frac{1}{8}\int \mathbf{n}^2 d^3 \mathbf{n}\cdots(2)}


ここで，状態数（{n}のことですな）につき，電子はスピン上下の2個入れるんで，{\times 2}するんですな．

ついでに碩士くん直伝の変数変換も．

{\mathbf{n}=\displaystyle\frac{4}{3}\pi n^3}

{\displaystyle\frac{d\mathbf{n}}{dn}=4\pi n^2}

{d\mathbf{n}=4\pi n^2 dn}


これを(2)に無理やり放り込めば，


{E_{tot}=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{mL^2}\frac{1}{8}\int_{0}^{R} n^2 4\pi n^2 dn}

{=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{mL^2}\frac{1}{8}\int_{0}^{R} 4\pi n^4 dn}

{=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{8mL^2}\frac{4\pi}{5}R^5}

{=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{10mL^2}R^5\cdots(3)}


（＾▽＾）よしよし．


ここで，前回の式(1)をリコール．

{N=2\times\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3}


考えるフェルミ球の1/8体積が電子数，の式ですじゃ．

これを{R^3}について解くと，


{R^3=\displaystyle\frac{3N}{\pi}}



これをさっき出した全エネルギーの式，(3)に，例の指数のテクニックで代入するんですな．

{R^5=(R^3)^{\frac{5}{3}}}


それでは，

{E_{tot}=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{10mL^2}\left(\frac{3N}{\pi}\right)^{\frac{5}{3}}}

{=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{10m}\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{5}{3}}L^3}


おしまいの{L^3}をセンセが，「形に関係なく」とか「体積に関係なく」とか言って説明してましたわ．

そこにどうやって変形したのか．

電子密度の式(*)を使いますだ．目標は

{\displaystyle\left(\frac{N}{L^3}\right)^{5/3}}


こうしたいんですな．変形すると，


{\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{(L^3)^{\frac{5}{3}}}=\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{L^5}}


ちなみに現状は，


{\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{L^2}}


よって，{L^{-2}=L^{-5}+L^3}，


{\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{L^5}L^3}


と変形したんですなぁ…．


いかん，へんな眠気が（＋ω＋）

今日はここまでっ．