波束～ガウシアンの積分～ - 広島文理科大学波動幾何学研究所

（；ω；）

泣きから入りましたが、めげてはいけません。

さて、ガシオロ先生の第２章第２節、「平面波と波束」でのっけからつまづいてあうあう。

放大量子物理でいうと、P.179の平面波の重ね合わせのところです。

ガシオロ先生は以下。

${\psi(x,0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dk A(k)e^{i(kx)}}}$

${t=0}$ で ${e^{-i\omega t}}$ は ${1}$ と消えましただ。

where,

${A(k)=e^{-\alpha(k-k_0)^2/2}}$

なんですね。ガウス積分の釣鐘カーブで御座いますだね。

…なににひっかかったかっていうと、

「平方完成」

だなや。
勝手に「これきっと置換積分使うんだよね」とか、違う方向に進んでっちまった感。

さて。
${q=k-k_0}$ と置くことで、 ${k=q+k_0}$ も得られて ${k}$ の積分から外そうとする試みなんですじゃな。

${\psi(x,0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dq\ e^{-\alpha q^2/2}e^{i(q+k_0)x}}}$

${\psi(x,0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dq\ e^{-\alpha q^2/2}e^{iqx}e^{ik_0 x}}}$

みづらいんで ${e^{-\alpha q^2/2}e^{iqx}}$ の肩だけ行きますと、

${-\alpha\displaystyle\frac{q^2}{2}+iqx}$

${-\displaystyle\frac{\alpha}{2}\left( q^2-\frac{2iqx}{\alpha}\right)}$

ここで平方完成使うんですなぁ。

${-\displaystyle\frac{\alpha}{2}\{\left( q-\frac{ix}{\alpha}\right)^2+\frac{x^2}{\alpha^2}\}}$

ぶらけっとのサイズがキマラんでおもろないっ（・ω・）
まあいいか。

${-\displaystyle\frac{\alpha}{2}\left( q-\frac{ix}{\alpha}\right)^2-\frac{x^2}{2\alpha}}$

…元の式にしてみますだ。

${\psi(x,0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dq\ e^{-\frac{\alpha}{2}\left( q-\frac{ix}{\alpha}\right)^2}e^{-\frac{x^2}{2\alpha}}e^{ik_0 x}}}$

そういうときはexpで表現？

${\psi(x,0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dq\ \exp{\left(-\displaystyle\frac{\alpha}{2}\left(q-\frac{ix}{\alpha}\right)^2\right)}} \exp{\left(-\displaystyle\frac{x^2}{2\alpha}\right)} \exp{\left(-ik_0 x\right)} }$

…ううむ、見やすいんだか見づらいんだかわかんね。

積分のqに関係ない関数は外に出ますじゃ。

${\psi(x,0)= \exp{\left(-\displaystyle\frac{x^2}{2\alpha}\right)} \exp{\left(ik_0 x\right)} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dq\ \exp{\left(-\displaystyle\frac{\alpha}{2}\left(q-\frac{ix}{\alpha}\right)^2\right)}} }$