平面波の規格化直交関係 - 広島文理科大学波動幾何学研究所

量子物理や多体物理の授業を受けていて、基礎がなっていないから解釈がすぐにできないことが多い。
これではいかんのであります。
基礎だキソ（★ω・）ノ

教科書は放大量子物理、第７章の「平面波とその性質」であります。
なんで平面波平面波言うのかと思うたら、

「平面波はreal spaceでもk-spaceでも関数が張れる」

など、便利だからなんですな。

…計算ソフトのユーザーが入り口なこちとらにとっては、かえって疑問なく，すっと受け入れられるのであります。

それで式を追っていたのですが、引っかかったのですな…。

前提は
・３次元平面波
・試しにx軸で考えてる

ここ、 ${k'_x}$ のプライムの意味とか全く触れてないけど、勝手な波数？
${k_x}$ と違えたいだけ？

…先に進みますだ。

${\psi_\boldsymbol{p}(\boldsymbol{r})=Ce^{i\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}}=C\psi_{k_x}(x)C\psi_{k_y}(y)C\psi_{k_z}(z)}$

${\psi_\boldsymbol{p}}$ は運動量に関する固有関数（固有状態）を表現してるんですな。

こっから行ってる操作は、固有関数展開ってやつだと思います。
有限区間 ${-L/2\leq x\leq L/2}$ で積分してから広義で積分、フーリエ変換の流れですじゃな。

${\displaystyle\int_{-L/2}^{+L/2}dx|c|^2 e^{i(k_x-k'_x)x}=|c|^2\displaystyle\frac{2\sin{\{\frac{1}{2}(k_x'-k_x)L}\}}{k_x'-k_x}}$

ここで、 ${\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}(k'_x-k_x)L\cdots(1)}$ とおいてますだ。

${=|c|^2L\displaystyle\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\cdots(2)}$

ここで

${k_x-k'_x=-(k'_x-k_x)}$

だし，

${\sin{(k_x-k'_x)}=-\sin{(k'_x-k_x)}}$

なので，右辺分子分母とも，

${k_x-k'_x\rightarrow k'_x-k_x}$

に戻してるんですなァ．

んで，任意の関数 ${f(k_x')}$ をかけてから，無限大のからむ定積分，広義積分とかいうやつの定石で，正負無限大区間で積分したものを，極限にとばすようですじゃ．

具体的には，

${\displaystyle\lim_{L\rightarrow \infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}dk'_x\ f(k'_x)\int_{-L/2}^{+L/2}dx\ |c|^2e^{i(k'_x-k_x)x} }$

${=2|c|^2\displaystyle\lim_{L\rightarrow \infty} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}d\alpha\ f\left(k_x+\frac{2\alpha}{L}\right)\frac{\sin{\alpha}}{\alpha} }$

…さて．まず，任意の関数の中身はわかりますだ．
(1)の変形で，

${f(k'_x)=f\left(k_x+\displaystyle\frac{2\alpha}{L}\right)}$

になったんですな．
問題はアタマの2と，もとあったLがどこにいったかですだ！！

…こいつは頭をひねったんだがわからんで，碩士くんの知恵を借りもうした．

${\displaystyle\frac{d}{d\alpha}k'_x=\frac{d}{d\alpha}\left(k_x+\displaystyle\frac{2\alpha}{L}\right)}$

${\displaystyle\frac{d}{d\alpha}k'_x=\displaystyle\frac{2}{L}}$

${dk'_x=d\alpha\displaystyle\frac{2}{L}}$

へ，変数変換すればよかったのか…（・ω・；）
ぱっと見えないあたり，場数不足でありました…．
相変わらずやるな，碩士くん．
これなら(2)にかければ，

${|c|^2L\displaystyle\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}\times d\alpha\displaystyle\frac{2}{L}}$

${=2|c|^2\displaystyle\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}d\alpha}$

（＾▽＾）スッキリ．

積分公式 ${\int_{-\infty}^{+\infty}dx\frac{\sin{x}}{x}}$ を使い，式の続きは

${=2|c|^2 f(k_x)\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}d\alpha\ \frac{\sin{\alpha}}{\alpha} }$

${=2\pi|c|^2 f(k_x)}$

となりますだ．

カタワレの ${\frac{2\alpha}{L}}$ は ${L}$ が無限大にとんで消えたと判断しましただ．

本日はここまで（・ω・）．
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
↓応援いただけましたら励みになります（・ω・）ノシ