40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

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波束~ガウシアンの積分~

(;ω;)

泣きから入りましたが、めげてはいけません。

さて、ガシオロ先生の第2章第2節、「平面波と波束」でのっけからつまづいてあうあう。

放大量子物理でいうと、P.179の平面波の重ね合わせのところです。


ガシオロ先生は以下。

{\psi(x,0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dk A(k)e^{i(kx)}}}


{t=0}{e^{-i\omega t}}{1}と消えましただ。

where,

{A(k)=e^{-\alpha(k-k_0)^2/2}}


なんですね。ガウス積分の釣鐘カーブで御座いますだね。

…なににひっかかったかっていうと、

「平方完成」

だなや。
勝手に「これきっと置換積分使うんだよね」とか、違う方向に進んでっちまった感。


さて。
{q=k-k_0}と置くことで、{k=q+k_0}も得られて{k}積分から外そうとする試みなんですじゃな。


{\psi(x,0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dq\ e^{-\alpha q^2/2}e^{i(q+k_0)x}}}

{\psi(x,0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dq\ e^{-\alpha q^2/2}e^{iqx}e^{ik_0 x}}}


みづらいんで{e^{-\alpha q^2/2}e^{iqx}}の肩だけ行きますと、

{-\alpha\displaystyle\frac{q^2}{2}+iqx}

{-\displaystyle\frac{\alpha}{2}\left( q^2-\frac{2iqx}{\alpha}\right)}


ここで平方完成使うんですなぁ。


{-\displaystyle\frac{\alpha}{2}\{\left( q-\frac{ix}{\alpha}\right)^2+\frac{x^2}{\alpha^2}\}}


ぶらけっとのサイズがキマラんでおもろないっ(・ω・)
まあいいか。


{-\displaystyle\frac{\alpha}{2}\left( q-\frac{ix}{\alpha}\right)^2-\frac{x^2}{2\alpha}}


…元の式にしてみますだ。


{\psi(x,0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dq\ e^{-\frac{\alpha}{2}\left(
q-\frac{ix}{\alpha}\right)^2}e^{-\frac{x^2}{2\alpha}}e^{ik_0 x}}}


そういうときはexpで表現?


{\psi(x,0)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dq\ \exp{\left(-\displaystyle\frac{\alpha}{2}\left(q-\frac{ix}{\alpha}\right)^2\right)}}
\exp{\left(-\displaystyle\frac{x^2}{2\alpha}\right)}
\exp{\left(-ik_0 x\right)}
}


…ううむ、見やすいんだか見づらいんだかわかんね。

積分のqに関係ない関数は外に出ますじゃ。


{\psi(x,0)=
\exp{\left(-\displaystyle\frac{x^2}{2\alpha}\right)}
\exp{\left(ik_0 x\right)}
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{dq\ \exp{\left(-\displaystyle\frac{\alpha}{2}\left(q-\frac{ix}{\alpha}\right)^2\right)}}
}


exp第1項に含まれるダンピング?的な何かは、どちらの教科書でもプリファクターに吸い取らせます的な表現がありますんだ。
ガウス積分の平行移動は、値に影響せずですだ。
無限区間の定積分だから、平行移動しても面積変わらんのですよな?

f:id:morio_roji1111:20180605004858p:plain
赤枠内のことですだな。

よって、


{\psi(x,0)=\displaystyle\sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}e^{-\frac{x^2}{2\alpha}}e^{ik_0 x}}


ガシオロ先生のやり方で沿ったんで、こいつはガシオロ先生流だべ。


大事なのは何についての積分か変換して見やすくやりやすくするってことにちがいない。


う~む。。。
ちょっと慣れないとダメかも。
(^▽^;)

ガウス積分に関しては、カギしっぽ様を参考にいたしました。
ガウス積分の公式 [物理のかぎしっぽ]

修士入試以来、EMAN様のサイト同様まことにお世話になっておりますじゃ。

(ー人ー)大感謝~。
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