40代からの量子力学

自然哲論お勉強会

  応援いただけましたら励みになります(・ω・)ノシ       にほんブログ村 科学ブログ 物理学へ

シュレーディンガー方程式を解く

唐突に始まりました。
夏休みだからではありません。
台湾の研究所に夏休みはありません( ノД`)

それではスタート。
まずは極座標変換からです。

f:id:morio_roji1111:20180706212924p:plain


ちなみにθは天頂角と言います。Zenith angleです。
スクエアのフロントミッションを思い出してはいけません。
水平方向から登ればelevation angle、Φはazimuth angle、方位角です。


これらをデカルト座標x,y,zから、極座標r,θ,φに変換したいのです。
ここで、

{x=r\sin{\theta}\cos{\phi}}
{y=r\sin{\theta}\sin{\phi}\cdots(1)}
{z=r\cos{\theta}}

の関係があります。

さて、シュレーディンガー方程式について、前回形を求めたことがありますんだ。

wave-geometry.hatenablog.com


{\left[\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x)\right]\psi(x)=E\psi(x)}


このなぶらさんですが、ベクトルの内積でして、

{\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\cdots(2)}


こうなってます。

さあ、まずはこいつらから{(x,y,z)\to(r,\theta,\phi)}するんずら。

…実はグランドクロス方程式(超謎)と余因子行列で作る逆行列を掛けるやり方でやったんだけど,
行列要素のとりかたの解釈で,ものすごいクリアに理解できたわけじゃなかったので,あえて背伸びして別のやり方しますだ.
(こっちのほうがきっとスマァトなんだ)


ではいきます.
(1)から,これを{r,\theta,\phi}について解きます.


{r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
{\theta=\arctan{\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\cdots(3)}
{\phi=\arctan{\displaystyle\frac{y}{x}}}


こんなかんじで.
arctanは図を見たりせんで,(1)の式から{\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}とかが取り出せそうな形に持ち込んで,うりゃあ(泣)とやります.


(2)のような,x,y,z偏微分に持ち込むために,以下のようにチェインルールとやらを使って考えます.


{\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}}


こんな感じ.
この左右両辺は同じ作用をします.

これを(3)のrの式に作用させてみましょうえ.



{\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{1/2}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}r}

{\displaystyle\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}2x=\frac{\partial r}{\partial x}}


右辺のrは消えましただな.


{\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{\partial r}{\partial x}}

{\displaystyle\frac{x}{r}=\frac{\partial r}{\partial x}}


左右入れ替えて見やすくしますと,


{\displaystyle\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}=\sin{\theta}\cos{\phi}}


よし,この調子で,


{\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi}}


{\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}=\sin{\theta}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi}}


こういう式を作りましょうぞ!
(・∀・)