シュレーディンガー方程式を解く - 広島文理科大学波動幾何学研究所

唐突に始まりました。
夏休みだからではありません。
台湾の研究所に夏休みはありません( ﾉД`)

それではスタート。
まずは極座標変換からです。

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ちなみにθは天頂角と言います。Zenith angleです。
スクエアのフロントミッションを思い出してはいけません。
水平方向から登ればelevation angle、Φはazimuth angle、方位角です。

これらをデカルト座標x,y,zから、極座標r,θ,φに変換したいのです。
ここで、

${x=r\sin{\theta}\cos{\phi}}$
${y=r\sin{\theta}\sin{\phi}\cdots(1)}$
${z=r\cos{\theta}}$

の関係があります。

さて、シュレーディンガー方程式について、前回形を求めたことがありますんだ。

wave-geometry.hatenablog.com

${\left[\displaystyle - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x)\right]\psi(x)=E\psi(x)}$

このなぶらさんですが、ベクトルの内積でして、

${\nabla^2=\nabla\cdot\nabla=\displaystyle\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\cdots(2)}$

こうなってます。

さあ、まずはこいつらから ${(x,y,z)\to(r,\theta,\phi)}$ するんずら。

…実はグランドクロス方程式（超謎）と余因子行列で作る逆行列を掛けるやり方でやったんだけど，
行列要素のとりかたの解釈で，ものすごいクリアに理解できたわけじゃなかったので，あえて背伸びして別のやり方しますだ．
（こっちのほうがきっとスマァトなんだ）

ではいきます．
(1)から，これを ${r,\theta,\phi}$ について解きます．

${r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
${\theta=\arctan{\displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\cdots(3)}$
${\phi=\arctan{\displaystyle\frac{y}{x}}}$

こんなかんじで．
arctanは図を見たりせんで，(1)の式から ${\tan\theta=\displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$ とかが取り出せそうな形に持ち込んで，うりゃあ（泣）とやります．

(2)のような，x,y,z偏微分に持ち込むために，以下のようにチェインルールとやらを使って考えます．

${\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}}$

こんな感じ．
この左右両辺は同じ作用をします．

これを(3)のrの式に作用させてみましょうえ．

${\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{1/2}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}r}$

${\displaystyle\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}2x=\frac{\partial r}{\partial x}}$

右辺のrは消えましただな．

${\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{\partial r}{\partial x}}$

${\displaystyle\frac{x}{r}=\frac{\partial r}{\partial x}}$

左右入れ替えて見やすくしますと，

${\displaystyle\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}=\sin{\theta}\cos{\phi}}$

よし，この調子で，

${\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi}}$

${\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}=\sin{\theta}\cos{\phi}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\partial\phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi}}$

こういう式を作りましょうぞ！
（・∀・）