2018-06-27

時間に独立な摂動論2

お疲れ様です（謎

さて、前回は１次の項まで勉強しました。

摂動ポテンシャルの期待値、１次の摂動波動関数を得たのですじゃ。

すなわち、

${\displaystyle\sum_{k\neq n} (E_k^{0}-E_n^{0}) C_{nk}^1|\phi_k\rangle+V|\phi_n\rangle=E_n^{0}|\phi_n\rangle}$

ここから、 ${k=n}$ のとき

${E_n^{0}=\langle\phi_n|V|\phi_n\rangle}$

と、 ${k\neq n}$ のとき

${C_{nk}^{1}=\displaystyle\frac{\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{E_k^{0}-E_n^{0}}}$

でありますだな…。

本体をリコールしときますだ。

${(H_0+\lambda V)(|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots)=}$

${=(E_n^{0}+\lambda E_n^{1}+\lambda^2 E_n^{2}+\cdots)(|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots)}$

2nd Order

${\lambda^{2}}$ について項をピックアップしますだ。

${H_0|\psi_n^{2}\rangle+V|\psi_n^{1}\rangle=E_n^{0}|\psi_n^{2}\rangle+E_n^{1}|\psi_n^{1}\rangle+E_n^{2}|\psi_n^{0}\rangle}$

これまた前回同様式を詳細に書き直しますじゃ。

${H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+V\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle=E_n^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+E_n^{1}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+E_n^{2}|\phi_n^{0}\rangle}$

それでは左から ${\langle\phi_n|}$ をかけます。

${\langle\phi_n|H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|V\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle=\langle\phi_n|E_n^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|E_n^{1}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|E_n^{2}|\phi_n\rangle}$

${\displaystyle\sum_{k\neq n} \langle\phi_n|V|\phi_k\rangle C_{nk}^1=E_n^{2}\cdots(1)}$

．．．第1項ってどうなるんだっけと，ガシオロ先生確認してしまったわ・・・．

きっとこうよね？

${\langle\phi_n|H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle=E_k^{2}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2\langle\phi_n|\phi_k\rangle=0}$

よし．

ここで，１次の摂動でderiveした波動関数（を特徴づける係数）を持ってきます．

${C_{nk}^1=-\displaystyle\frac{\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{(E_k^{0}-E_n^{0})}}$

これを(1)にほうりこむんですな．

${E_n^{2}=-\displaystyle\sum_{k\neq n} \langle\phi_n|V|\phi_k\rangle\displaystyle\frac{\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{(E_k^{0}-E_n^{0})}}$

ガシオロ先生は分母について，順番入れ替えて符号正にしてますな．

${E_n^{2}=\displaystyle\sum_{k\neq n} \displaystyle\frac{\langle\phi_n|V|\phi_k\rangle\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{(E_n^{0}-E_k^{0})}=}$

${=\displaystyle\frac{|\langle\phi_n|V|\phi_k\rangle|^2}{(E_n^{0}-E_k^{0})}}$

「hermiticity」の一言で説明されてるけど，ようは摂動の ${V}$ がエルミート演算子なんで，複素共役でも同じことなんですなぁ．

転置して共役にするやつ．

…こうしてみると，好きで勝手にVにしたけど，Hにしたほうがわかりやすかったかもな．
（＋ω＋）

２次は ${\langle\phi_k|}$ はやらんらしい．
微小だからか？

以下，ガシオロ先生からの結言でござる．

・ ${E_n^{0}}$ が基底なら，分母はマイナス，式もマイナスになる．
・摂動ハミルトニアン ${V}$ の行列要素はおおまかにいって同じ桁なら，近傍の準位は（離れたものより）大きな２次の影響を受ける
・kがnより高いなら，２次は下向きのエネルギー遷移だ．逆もまたしかり．

下は勝手に書いた想像図ですだよ．

f:id:morio_roji1111:20180627221059p:plain

どっかの資料や教科書の忘れ去った記憶からかもしれんけど．

ほんとはこのあとに，摂動展開の一般式から得る ${\lambda}$ の決定などがあるんだけど，ダイジェストできてないんでいつの日かまた（；ω；）

2018-06-27

【Torque】qdel: Server could not connect to MOM

メモ：

ノードを強制的に立ち上げなおし、ノードに入って

pbs_mom

で復旧。

2018-06-26

碩士くんたちお疲れ様の巻

画像と本文はこれっぽっちも関係ありませぬ．

f:id:morio_roji1111:20180626212633p:plain

台湾は卒業シーズンです．
研究室の碩士2人も，今日が口頭．

お疲れ様でした（＾▽＾）

いろいろあるけど，「若いんだから頑張って」としか言いようがない．

今日はこれだけ．
（・ω・）ノシ

2018-06-24

Quantum Espresso是原子單位系統

f:id:morio_roji1111:20180624232531p:plain

陷進去了好久了也～～～（＾▽＾；）

我一直安排Angstrom的data.

它方CRASH一直顯示“S matrix not positive definite”。。。

才發現這裏default設定的就是“alat”, Bohr半徑！！

哇哇。。

現在目前順利走走．．．
（・∀・）

2018-06-23

時間に独立な摂動論

おはようございます。
学生につきものの、睡眠不順（ｘωｘ）
辛いですね。

こういう時は、労働時間的には辛かった派遣時代を思い出します。
日曜寝だめしてたなぁ…。

さて、勉強したそばからノートを作らなきゃ（＾▽＾）忘れそう。
というわけで、摂動論やります！

図は太陽の周りをまわる地球を大げさに書いたものですじゃ。
大げさにな。

f:id:morio_roji1111:20180623085637p:plain

赤の軌道が純粋な、邪魔の入らない軌道ですじゃ。
しかし惑星たちは、黒のふらふらした軌道をとる。
それは、太陽以外の重量級の星の引力にも引っ張られるから。

これが「摂動」、perturbationであります。

天文学では「離心率」とか、eccentricityとかいう言葉があるようですなぁ。

まさしく「常軌を逸して」ぐんっとエキセントリック、なんですな。

さて。
物理学に戻りますと、赤の軌道は無摂動項、黒は摂動ありです。
この場合のハミルトニアンは次：

${H=H_0+\lambda V}$

のっけからハットつけずに始まりました。
ここで、 ${H}$ はフルハミルトニアン、 ${H_0}$ は無摂動ハミルトニアン、 ${\lambda V}$ は摂動ポテンシャル。
くっついてる ${\lambda}$ なんですが、これは摂動展開したときの目印にマーキングしているのです。
ご利益はあとでわかりますだ。

われわれは、摂動のない解は（解析的に？）解くことができる。

${H_0|\phi_n\rangle=E_n^{0}|\phi_n\rangle\cdots(1)}$

これを既知の情報、あしがかりとして前に進みましょうぞ！

まず解きたい全体像はShrödinger方程式ですじゃ。

${H|\psi_n\rangle=E|\psi_n\rangle}$

状態nの、時間に依存しないバージョンですだな。
これにさきのハミルトニアンを代入。

${(H_0+\lambda V)|\psi_n\rangle=E_n|\psi_n\rangle\cdots(2)}$

この ${|\psi_n\rangle}$ と ${E_n}$ は摂動展開で表しますじゃ。

${|\psi_n\rangle=|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots}$

${E_n=E_n^{0}+\lambda E_n^{1}+\lambda^2 E_n^{2}+\cdots}$

右肩のsuperscriptは次数を意味しますじゃ。

(1)にこれらを代入、

${(H_0+\lambda V)(|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots)=}$

${=(E_n^{0}+\lambda E_n^{1}+\lambda^2 E_n^{2}+\cdots)(|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots)\cdots(2)}$

これが考える式の全景ですな。

がんばってケットの中にプサイとか入れてる、ガシオロ記法使ってんだけど、かえって見づらい上に疲れてきた…
（；ω；）

閑話休題。
これらの各項の固有関数は完備系で展開可能、 ${|\psi_n^{i}\rangle\ \ \ (i=1,2,3\cdots)}$ なら、

${|\psi_n^{1}\rangle=\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle}$

${|\psi_n^{2}\rangle=\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle}$

${|\psi_n^{3}\rangle=\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^3|\phi_k\rangle}$

${\ \ \ \ \ \ \vdots\cdots(3)}$

が連なってるのですかな。
壮観。

${C_{nk}^i}$ は展開係数で複素数。
なるほど、固有関数の ${|\phi_k\rangle}$ は形を変えないのね。

${|\psi_{n}^{0}\rangle}$ は ${|\phi_{n}\rangle}$ で分けて進めてもだいじょうぶ？
だいじょぶか。

0th Order

まず、0次のオーダー（変な言い方だ）から見ていきますだ。
ここで活躍するのが ${\lambda}$ ですじゃ。
0-orderは、 ${\lambda}$ がつかないところを見ていけばいい。

${H_0|\psi_n^{0}\rangle=E_n^{0}|\psi_n^{0}\rangle}$

すんなりいきましたな。
すなわちイコール(1)の、

${H_0|\phi_n\rangle=E_n^{0}|\phi_n\rangle}$

これが0th orderの場合ですじゃ。
惑星モデルの赤い軌道にふさわしく、見ため的にもstraightforwardでよかよか。
（＾▽＾）

1st Order

１次の項を集めてみましょうえ。
${\lambda}$ がついてるとこを見ればいいですだ。
この場合は ${\lambda^1}$ の意ですだな。

${H_0\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda V|\psi_n^{0}\rangle=E_n^{0}\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda E_n^{1}|\psi_n^{0}\rangle}$

この ${\lambda}$ はあくまでマーキング用なので、消えてもらいますだ。

${H_0|\psi_n^{1}\rangle+V|\psi_n^{0}\rangle=E_n^{0}|\psi_n^{1}\rangle+E_n^{1}|\psi_n^{0}\rangle}$

ここでガシオロ先生の式に近づけるために(1)と(3)を使って努力（？）しますじゃ！

${H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+V|\phi_n\rangle=E_n^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+E_n^{1}|\phi_n\rangle}$

移項して ${H_0}$ は作用させ、

${E_k^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle-E_n^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+V|\phi_n\rangle=E_n^{1}|\phi_n\rangle}$

さらに整理して、

${\displaystyle\sum_{k\neq n} (E_k^{0}-E_n^{0}) C_{nk}^1|\phi_k\rangle+V|\phi_n\rangle=E_n^{1}|\phi_n\rangle\cdots(4)}$

ふぅ、よかよか（・ω・；）

そしていよいよブラ ${\langle\phi_k|}$ を左からかける（遷移後の状態を意味する！）のだが、しかし。
ここでネットで拾ったありがたいスライドから得た情報によると、じゃ。

${k=n}$ の場合は「1次摂動エネルギー」が出てくる

${k\neq n}$ の場合は「１次摂動の波動関数」が出てくる

まじか！（・∀・）…やってみましょうね。
まずは1.から。(4)の全項に ${\langle\phi_n|}$ かけます。

${\langle\phi_n|\displaystyle\sum_{k\neq n} (E_k^{0}-E_n^{0}) C_{nk}^1|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|V|\phi_n\rangle=\langle\phi_n|E_n^{1}|\phi_n\rangle}$

${E_n^{1}=\langle\phi_n|V|\phi_n\rangle}$

まんま出てきた！

「これは非常に重要な式だ。所与の状態の１次のエネルギー遷移は、摂動ポテンシャルの期待値なのである」
byガシオロ先生。

うむむ、しかと覚えときます。

感慨冷めやらぬうちに2. 今度は(4)の全項に ${\langle\phi_k|}$ かけます。

${\langle\phi_k|\displaystyle\sum_{k\neq n} (E_k^{0}-E_n^{0}) C_{nk}^1|\phi_k\rangle+\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle=\langle\phi_k|E_n^{1}|\phi_n\rangle}$

${(E_k^{0}-E_n^{0}) C_{nk}^1+\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle=0}$

総和の期待値なので、中身がそのまま出てきた？
そう解釈させてもらいますぜ？

${C_{nk}^1=-\displaystyle\frac{\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{(E_k^{0}-E_n^{0})}}$

(3)の一番上、

${|\psi_n^{1}\rangle=\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle}$

波動関数は展開係数で決まるの巻で決まりですじゃ！
１次の摂動波動関数もゲット！！

（；ω；）感涙

今日はここまでですじゃ～。

2018-06-22

フェルミエネルギー・全エネルギー4

シリーズ、フェルミエネルギー・全エネルギーも４回目ですだな。

wave-geometry.hatenablog.com

今日はフェルミ波数 ${k_F}$ を出してみますだ。

${k_F=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda_F}\cdots(1)}$

それでは。

前回までで、フェルミエネルギー ${E_F}$ は以下の通り得ましただ。

${E_F=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}\cdots(2)}$

そもそもの波で表すエネルギーの式は、

${E_F=\displaystyle\frac{\hbar^2 k_{F}^2}{2m}}$

これを ${k_F}$ について解くと、

${k_F^{2}=\displaystyle\frac{2mE_F}{\hbar^2}}$

この ${E_F}$ に(2)を代入ですじゃ。

${k_F^{2}=\displaystyle\frac{2m}{\hbar^2}\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}}$

f:id:morio_roji1111:20180622142920p:plain

ぶかっこうですんませんだ。スラッシュアウトができなかったですだ。
こう、消しあうんですな。キャンセレーション。

んで、

${k_F^{2}=\pi^2\displaystyle\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{2}{3} }}$

平方を解きますだ。 ${k>0}$ ですだ。

${k_F=\pi\displaystyle\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{1}{3} }\cdots(3)}$

(1)を ${\lambda_F}$ について解きますと、

${\lambda_F=\displaystyle\frac{2\pi}{k_F}}$

これと(3)から、

${\lambda_F=2\pi\displaystyle\frac{1}{\pi\displaystyle\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}}}$

ううむ、

${\lambda_F=\displaystyle\frac{2}{\displaystyle\left(\frac{3}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}}}}$

ここで、

${\displaystyle\frac{2}{\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}}}=2.03448953638\cdots }$

なのだ。
よって、

${\lambda_F=2.03 n^{-\frac{1}{3}}}$

…さて。
ここでガシオロ先生、「 ${n^{-\frac{1}{3}}}$ は近似的に粒子間の距離dと考えるのだ」とのたもうとる。

…たしかに、3次元が３乗根で1次元に下がると考えれば…？
よいのですかな。
いいのであれば、

${\lambda_F=2.03d}$

${d\approx\displaystyle\frac{\lambda_F}{2}}$

この意味するところは、「排他原理により電子が離れていないといけない距離＝半波長」とある。

う～ん、一般な式から、こうも普遍的に適用可能なステートメントが導き出せるもんなんですなぁ…。

（・ω・）感慨深い。

～・～・～・～
３乗根の計算は、
keisan.casio.jp
さすが計算機のカシオ様だべ！
（＾▽＾）

2018-06-22

フェルミエネルギー・全エネルギー3

夜中に目が覚めちまったんで，続きをば．

wave-geometry.hatenablog.com

前回はこれを得たんですな↓

${E_F=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\left(\frac{3n}{\pi} \right)^{\frac{2}{3}}}$

ここにでてくる ${n}$ は，電子密度の ${n}$ ですじゃ．

${n=\displaystyle\frac{N}{V}\cdots(*)}$

where, ${N}$ は電子の総数， ${V=L^3}$ で体積．

余談ですが，センセが黒板に「體積」ってガツガツ書くのがほほえましい（・∀・）

…んで，今日は全エネルギー ${E_{tot}}$ を求めますだよ．

とはいえ，すでに電子のフェルミ海の表面が知れているので，体積積分すりゃよいんですな．

${E_{tot}=\displaystyle\frac{1}{8}\int d^3 \mathbf{n}\cdots(1)}$

ガシオロ先生曰く，「積分したら球全体になっちゃうんで，改めてoctan（1/8）指定しなきゃならん」とのことですじゃ．

元の式は

${E=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\mathbf{n}^2}$

からスタートですだ．
これと(1)より，

${E_{tot}=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}\frac{1}{8}\int \mathbf{n}^2 d^3 \mathbf{n}\cdots(2)}$

ここで，状態数（ ${n}$ のことですな）につき，電子はスピン上下の2個入れるんで， ${\times 2}$ するんですな．

ついでに碩士くん直伝の変数変換も．

${\mathbf{n}=\displaystyle\frac{4}{3}\pi n^3}$

${\displaystyle\frac{d\mathbf{n}}{dn}=4\pi n^2}$

${d\mathbf{n}=4\pi n^2 dn}$

これを(2)に無理やり放り込めば，

${E_{tot}=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{mL^2}\frac{1}{8}\int_{0}^{R} n^2 4\pi n^2 dn}$

${=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{mL^2}\frac{1}{8}\int_{0}^{R} 4\pi n^4 dn}$

${=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{8mL^2}\frac{4\pi}{5}R^5}$

${=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{10mL^2}R^5\cdots(3)}$

（＾▽＾）よしよし．

ここで，前回の式(1)をリコール．

${N=2\times\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3}$

考えるフェルミ球の1/8体積が電子数，の式ですじゃ．

これを ${R^3}$ について解くと，

${R^3=\displaystyle\frac{3N}{\pi}}$

これをさっき出した全エネルギーの式，(3)に，例の指数のテクニックで代入するんですな．

${R^5=(R^3)^{\frac{5}{3}}}$

それでは，

${E_{tot}=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{10mL^2}\left(\frac{3N}{\pi}\right)^{\frac{5}{3}}}$

${=\displaystyle\frac{\hbar^2\pi^2}{10m}\left(\frac{3n}{\pi}\right)^{\frac{5}{3}}L^3}$

おしまいの ${L^3}$ をセンセが，「形に関係なく」とか「体積に関係なく」とか言って説明してましたわ．

そこにどうやって変形したのか．

電子密度の式(*)を使いますだ．目標は

${\displaystyle\left(\frac{N}{L^3}\right)^{5/3}}$

こうしたいんですな．変形すると，

${\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{(L^3)^{\frac{5}{3}}}=\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{L^5}}$

ちなみに現状は，

${\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{L^2}}$

よって， ${L^{-2}=L^{-5}+L^3}$ ，

${\displaystyle\frac{N^{\frac{5}{3}}}{L^5}L^3}$

と変形したんですなぁ…．

いかん，へんな眠気が（＋ω＋）

今日はここまでっ．

広島文理科大学波動幾何学研究所

自然哲論お勉強会