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時間に独立な摂動論2

お疲れ様です（謎

さて、前回は１次の項まで勉強しました。

摂動ポテンシャルの期待値、１次の摂動波動関数を得たのですじゃ。


すなわち、


{\displaystyle\sum_{k\neq n} (E_k^{0}-E_n^{0}) C_{nk}^1|\phi_k\rangle+V|\phi_n\rangle=E_n^{0}|\phi_n\rangle}


ここから、{k=n}のとき


{E_n^{0}=\langle\phi_n|V|\phi_n\rangle}


と、{k\neq n}のとき


{C_{nk}^{1}=\displaystyle\frac{\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{E_k^{0}-E_n^{0}}}


でありますだな…。


本体をリコールしときますだ。


{(H_0+\lambda V)(|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots)=}

{=(E_n^{0}+\lambda E_n^{1}+\lambda^2 E_n^{2}+\cdots)(|\psi_n^{0}\rangle+\lambda|\psi_n^{1}\rangle+\lambda^2|\psi_n^{2}\rangle+\cdots)}

2nd Order


{\lambda^{2}}について項をピックアップしますだ。


{H_0|\psi_n^{2}\rangle+V|\psi_n^{1}\rangle=E_n^{0}|\psi_n^{2}\rangle+E_n^{1}|\psi_n^{1}\rangle+E_n^{2}|\psi_n^{0}\rangle}


これまた前回同様式を詳細に書き直しますじゃ。


{H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+V\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle=E_n^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+E_n^{1}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+E_n^{2}|\phi_n^{0}\rangle}


それでは左から{\langle\phi_n|}をかけます。


{\langle\phi_n|H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|V\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle=\langle\phi_n|E_n^{0}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|E_n^{1}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^1|\phi_k\rangle+\langle\phi_n|E_n^{2}|\phi_n\rangle}

{\displaystyle\sum_{k\neq n} \langle\phi_n|V|\phi_k\rangle C_{nk}^1=E_n^{2}\cdots(1)}


．．．第1項ってどうなるんだっけと，ガシオロ先生確認してしまったわ・・・．

きっとこうよね？


{\langle\phi_n|H_0\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2|\phi_k\rangle=E_k^{2}\displaystyle\sum_{k\neq n} C_{nk}^2\langle\phi_n|\phi_k\rangle=0}


よし．

ここで，１次の摂動でderiveした波動関数（を特徴づける係数）を持ってきます．


{C_{nk}^1=-\displaystyle\frac{\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{(E_k^{0}-E_n^{0})}}


これを(1)にほうりこむんですな．


{E_n^{2}=-\displaystyle\sum_{k\neq n} \langle\phi_n|V|\phi_k\rangle\displaystyle\frac{\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{(E_k^{0}-E_n^{0})}}


ガシオロ先生は分母について，順番入れ替えて符号正にしてますな．


{E_n^{2}=\displaystyle\sum_{k\neq n} \displaystyle\frac{\langle\phi_n|V|\phi_k\rangle\langle\phi_k|V|\phi_n\rangle}{(E_n^{0}-E_k^{0})}=}

{=\displaystyle\frac{|\langle\phi_n|V|\phi_k\rangle|^2}{(E_n^{0}-E_k^{0})}}


「hermiticity」の一言で説明されてるけど，ようは摂動の{V}がエルミート演算子なんで，複素共役でも同じことなんですなぁ．

転置して共役にするやつ．


…こうしてみると，好きで勝手にVにしたけど，Hにしたほうがわかりやすかったかもな．
（＋ω＋）

２次は{\langle\phi_k|}はやらんらしい．
微小だからか？


以下，ガシオロ先生からの結言でござる．

・{E_n^{0}}が基底なら，分母はマイナス，式もマイナスになる．
・摂動ハミルトニアン{V}の行列要素はおおまかにいって同じ桁なら，近傍の準位は（離れたものより）大きな２次の影響を受ける
・kがnより高いなら，２次は下向きのエネルギー遷移だ．逆もまたしかり．

下は勝手に書いた想像図ですだよ．


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どっかの資料や教科書の忘れ去った記憶からかもしれんけど．

ほんとはこのあとに，摂動展開の一般式から得る{\lambda}の決定などがあるんだけど，ダイジェストできてないんでいつの日かまた（；ω；）