Green's function〜自由粒子のプロパゲータ〜 - 広島文理科大学波動幾何学研究所

"Green's"の"'s"はいりますか？
いりませんか？
（・ω・）

さて，多体物理の授業が無事終わって一週間，発表のスライド提出の締め切り日です．
なんせ章末Exerciseで苦戦…．

Green関数の証明問題とかですね．

「この自由粒子の伝播関数 ${G_0^+}$ が，Green関数であることを確かめよ」とかですだ．

${G_0^+=-i\theta_{t-t'}e^{-i\epsilon_k(t-t')}}$

ここで ${\theta}$ は階段関数，

${\theta_{t-t'}= \begin{cases} e^{-\delta(t-t')}, \ \ \ \text{for}\ (t-t')>0 \\ 0, \ \ \ \text{for}\ (t-t')<0 \end{cases} }$

ですだ．

目指す式は，

${\left(\displaystyle\frac{k^2}{2m}+i\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\right)G'=\delta(t-t')}$

でござる．

まず，証明したいもとの関数を次のようにセット．

${G'=-i\theta_{t-t'}e^{-i\epsilon_k(t-t')}\cdots(1)}$

ステップ関数のせいでプロパゲータはエネルギー幅をもたない．
何ものにも散乱（台湾では「散射」と申しますだ）しない描像ですだな．

Mattuck先生がヒントをくれてますじゃ．

「 ${\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\theta_x=\delta(x),\ \ \ f(x)\delta(x)=f(0)\delta(0)\cdots(h)}$ 」

(h)はhintのh．
…この後者がぴんとこんで困った（・ω・）．

早々に新竹に帰省しおったD3サマの助言をいただきました．

${\displaystyle\int{f(x)\delta(x)dx=f(0)}}$

${\displaystyle\int{f(0)\delta(x)dx=f(0)}}$

${\therefore f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)}$

…（；ω；）神．
だってひっかかったんだもん．

…まあだいぶマセマティカリィだがな．

よっし，話を戻して(1)．
(1)を両辺微分しますじゃ．

${\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}G'=-i\frac{\partial}{\partial t}\{\theta_{t-t'}e^{-i\epsilon_k(t-t')}\}}$

右辺は前もどっかで出た，関数の積の微分ですだな．

${\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}G'=-i\delta(t-t')e^{-i\epsilon_k(t-t')}-\epsilon_k\theta_{t-t'}e^{-i\epsilon_k(t-t')} }$

右辺第２項は左辺へ移項，ついでに虚数のiも移項しますじゃ．

${i\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}G'-i\epsilon_k\theta_{t-t'}e^{-i\epsilon_k(t-t')}=\delta(t-t')e^{-i\epsilon_k(t-t')}}$

左辺の第２項に，なんと(1)が見いだせるんですなァ．
驚きだ．

んで，

${i\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}G'+\epsilon_kG'=\delta(t-t')e^{-i\epsilon_k(t-t')}}$

まとめっちまえば，

${\left(i\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}+\epsilon_k\right)G'=\delta(t-t')e^{-i\epsilon_k(t-t')}}$

ここで，(h)の後者を右辺に用いますだ．
よって右辺はデルタ関数だけになり，

${\left(i\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}+\epsilon_k\right)G'=\delta(t-t')}$

そして自由粒子のプロパゲータなんで，

${\epsilon_k=\displaystyle\frac{k^2}{2m} }$

よって

${\left(i\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}+\displaystyle\frac{k^2}{2m}\right)G'=\delta(t-t')}$

…となるのでありました．

（；ω；）感涙．
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